Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2021 – varianta 4

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 4
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Varianta 4
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( ) ( )3 4 3 1 9i i i− + + = , unde 2 1i = − .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 4f x x= − . Calculați ( )( )2f f .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ( )2
3log 2 4 1x x− + = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
acesta să fie divizibil cu 10 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2, 4A și ( )3,B a , unde a este număr real.
Determinați numărul real a , știind că punctele O , A și B sunt coliniare.
5p 6. Se consideră ( ) cos cos 2 cos3E x x x x= + + , unde x este număr real. Arătați că 0
4
E
π  = 
  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
=  
 
și ( ) 3 4
, 2 3
x y y
A x y y x y
+ 
=  
− − 
, unde x și y sunt numere
reale.
5p a) Arătați că ( )( )det 1,1 0A = .
5p b) Demonstrați că, dacă matricea ( ),A x y este inversabilă, atunci x y≠ .
5p c) Determinaţi perechile ( ),m n , de numere întregi, pentru care ( ) ( ) 2, ,A m n A m n I⋅ − = .
2. Pe mulţimea [ )0,A = +∞ se definește legea de compoziție ( )4 1xy
x y x y= − − − .
5p a) Arătați că 2 0 2= .
5p b) Arătați că 1 5x x ≥ , pentru orice x A∈ , 0x ≠ .
5p c) Demonstrați că, dacă m și n sunt numere naturale impare, atunci m n este număr natural impar.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 3 3lnf x x x= − .
5p a) Arătaţi că ( ) ( )( )2
3 1 1
' x x x
f x x
− + +
= , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 1x = , situat pe graficul
funcției f .
5p c) Demonstrați că 3 3ln 1x x≥ + , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) x
f x xe= .
5p a) Arătaţi că ( )2
0
2x
f x dx
e = .
5p b) Arătaţi că ( )( )
1 2
1
1x e
f x e dx e−
+
+ = .
5p c) Demonstrați că ( )
1
1
2
a
a
a
f x dx e
− +
− −
≥ − , pentru orice ( )0,a ∈ +∞ .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 4
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 4
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) ( ) 2
3 4 3 1 12 3 3 3i i i i i i− + + = − + + = 3p
12 3 9= − = 2p
2. ( )2 0f = 2p
( )( ) ( )2 0 4f f f= = − 3p
3. 2 2
2 4 3 2 1 0x x x x− + =  − + = 3p
1x = , care convine 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri
posibile 2p
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 9 numere divizibile cu 10 , deci sunt 9
cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 9 1
nr. cazuri posibile 90 10
p = = = 1p
5. 2OAm = , 3
OB
a
m = , unde a este număr real 2p
6OA OBm m a= ⇔ = 3p
6. 3
cos cos cos
4 4 2 4
E
π
π π π  = + + = 
  2p
2 2
0 0
2 2
 
= + + − =  
 
3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( )
4 4 4 4
1,1 det 1,1
2 2 2 2
A A
 
=  = = 
− − − −  2p
( )8 8 0= − − − = 3p
b) ( )( ) 2 23 4
det , 2 3
x y y
A x y x y
y x y
+
= = −
− − , pentru orice numere reale x și y 2p
( ),A x y este inversabilă ( )( ) 2 2
det , 0 0A x y x y⇔ ≠ ⇔ − ≠ , deci x y≠ 3p
c)
( ) ( ) 2 2
2 2
3 4 3 4 0
, , 2 3 2 3 0
m n n m n n n m
A m n A m n n m n n m n n m
 + − + −    ⋅ − = =    − − − − −   − 
, pentru
orice numere întregi m și n
3p
( )( )
2 2 2 2
2 2
0 1 0 1 1
0 10
n m n m n m n m
n m
 −  
  = ⇔ − = ⇔ − + =    − 
și, cum m și n sunt
numere întregi, obținem perechile ( )0,1 sau ( )0, 1−
2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 4
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
2.a) ( )2 0
2 0 4 1 2 0⋅
= − − − =
 3p
1 1 2 2= − + = 2p
b) 1
1 1 1 14 1 3 2 5
x xx x x x
x x x x
⋅
= − + + = + + = + − + =
 2p
( )2
2 11 2 5 5 5
xx x
x x
−+ −= + = + ≥ , pentru orice x A∈ , 0x ≠ 3p
c) m și n sunt numere naturale impare, deci 1m ≥ și 1 1n mn≥  ≥ , de unde obținem că 4mn
este număr natural par 2p
m și n sunt numere naturale impare, deci 1m n+ − este număr natural impar, de unde
obținem că 4 1mn
m n m n= + + −
 este număr natural impar 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 2 1
' 3 3f x x x
= − ⋅ = 3p
( ) ( )( )3 2
3 1 3 1 1x x x x
x x
− − + +
= = , ( )0,x ∈ +∞ 2p
b) ( )1 1f = , ( )' 1 0f = 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )1 ' 1 1y f f x− = − , adică 1y = 3p
c) ( ) 0 1f x x′ = ⇔ = ; pentru ( ]0,1x ∈ , obținem ( )' 0f x ≤ , deci f este descrescătoare pe ( ]0,1
și pentru [ )1,x ∈ +∞ , obținem ( )' 0f x ≥ , deci f este crescătoare pe [ )1, +∞ 3p
( ) ( )1f x f≥ , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ și, cum ( )1 1f = , obținem că 3 3ln 1x x≥ + , pentru
orice ( )0,x ∈ +∞ 2p
2.a) ( )2 2 2
0 0
2
2 0
x
f x x
dx x dx
e = = =  3p
2 0 2= − = 2p
b)
( )( ) ( ) ( )
1 1 1
1 1 1
1'
1
x x x x x
f x e dx xe e dx xe dx xe
− − −
+ = + = = =
−
   3p
2
1 1e
e e e
− +
= + = 2p
c) ( ) ( )' 1 x
f x x e= + , deci ( )' 0 1f x x= ⇔ = − și, cum ( )' 0f x ≤ , pentru orice ( ], 1x ∈ −∞ − și
( )' 0f x ≥ , pentru orice [ )1,x ∈ − +∞ , obținem că ( ) ( )1f x f≥ − , pentru orice număr real x 2p
( ) 1
1f e
− = − , deci ( )
1 1
1 1
11 1 2
1
a a
a a
a a
f x dx dx x
e e ea
− + − +
− − − −
− +
≥ − = − = −
− −
  , pentru orice ( )0,a ∈ +∞ 3p