Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2021 – varianta 2

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinaţi al treilea termen al progresiei geometrice ( ) 1n n
b ≥ , știind că 1 2b = și 2 6b = .
5p 2. Se consideră funcțiile :f →ℝ ℝ , ( ) 7f x x= + și :g →ℝ ℝ , ( ) 7g x x= − . Calculaţi ( )( )7f g .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 1 2x x− = − .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta
să verifice inegalitatea ( )( )( )( )1 2 3 4 0n n n n n− − − − > .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,1A , ( )1,0B − , ( )3,5C și ( )5,6D . Demonstraţi
că punctele B , D și mijlocul segmentului AC sunt coliniare.
5p 6. Determinaţi ( )0,x
π∈ , ştiind că ( )2
sin cos 2x x− = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
=  
 
și ( ) 1 2 2
2 1 2
a a
a a
A a  +
 =  − − 
, unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 0 1A = .
5p b) Arătați că ( ) ( ) ( ) ( ) 21 2 1 2A A A A I+ − ⋅ = .
5p c) Se consideră numerele naturale m şi n , astfel încât ( ) ( ) ( )A m A n A m n⋅ = + . Arătaţi că 1m n= = .
2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie 2 2
x y x y x y= + + +∗ .
5p a) Arătați că ( ) ( )1 1 0− − =∗ .
5p b) Demonstrați că
2 2
1 1 1
2 2 2
x y x y
   
= + + + −∗    
    , pentru orice numere reale x și y .
5p c) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui x pentru care 2 2 4x x ≤∗ .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 2,f − +∞ → ℝ , ( ) ( )2 1
4 ln 2
2
f x x x x= + − + .
5p a) Arătaţi că ( ) ( )( )
( )
2 3 2 5
' 2 2
x x
f x x
+ +
= + , ( )2,x ∈ − +∞ .
5p b) Calculaţi ( )2 4
lim
x
x x f x
x→+∞
+ − .
5p c) Demonstraţi că ( )2 15 1
4 ln 2 4
4 2
x x x+ + ≥ + , pentru orice ( )2,x ∈ − +∞ .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2
2
1 1
f x x
= + + .
5p a) Arătaţi că ( ) ( )
3 2
0
1 18x f x dx+ =∫ .
5p b) Arătaţi că ( )
3
1
4 ln 5x f x dx = +∫ .
5p c) Demonstrați că ( ) ( )1 1F x F x+ ≥ + , pentru orice număr real x , unde F este o primitivă a lui f .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 3q = , unde q este rația progresiei geometrice 3p
2
3 2 3 18b = ⋅ = 2p
2. ( )7 0g = 2p
( )( ) ( )( ) ( )7 7 0 7f g f g f= = =
 3p
3. ( )2 2
2 1 2 6 5 0x x x x− = − ⇔ − + = 3p
1x = , care nu convine, 5x = , care convine 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de o cifră are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile 2p
Mulțimea numerelor naturale de o cifră care verifică ( )( )( )( )1 2 3 4 0n n n n n− − − − > are 5
elemente, deci sunt 5 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 5 1
nr. cazuri posibile 10 2
p = = = 1p
5. Mijlocul segmentului AC este punctul ( )2,3M și 1BMm = 3p
1BDm = , deci BD BMm m= , de unde obținem că punctele B , D şi M sunt coliniare 2p
6. 2 2
sin 2sin cos cos 2 1 sin 2 2 sin 2 1x x x x x x− + = ⇔ − = ⇔ = − 3p
Cum ( )0,x
π∈ , obținem 3
2 2
x
π
= , deci 3
4
x
π
= 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( ) ( )
2 1 2 1
0 det 0 2 0 1 1
1 0 1 0
A A
 
= ⇒ = = ⋅ − ⋅ − = − −  3p
0 1 1= + = 2p
b) ( ) 3 2
1 2 1
A  
=  − − 
, ( ) 5 4
2 4 3
A  
=  − − 
, ( ) ( ) 7 6
1 2 6 5
A A  
⋅ =  
− −  3p
( ) ( ) ( ) ( ) 2
3 2 5 4 7 6 1 0
1 2 1 2 2 1 4 3 6 5 0 1
A A A A I
       
+ − ⋅ = + − = =       
− − − − − −        2p
c)
( ) ( ) 1 2 2 2 2
2 2 1 2 2
m n m n
m n m n
A m A n  + + +
⋅ =  
 − − − − 
, ( ) 1 2 2
2 1 2
m n m n
m n m n
A m n
+ +
+ +
 +
 + =  − − 
, unde m şi n
sunt numere naturale
2p
( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 1 2 1 1m n m n m n
A m A n A m n +
⋅ = + ⇔ = + ⇔ − − = și, cum m şi n sunt
numere naturale, obţinem 1m n= =
3p
2.a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
1 1 1 1 1 1− − = − + − + − + − =∗ 3p
1 1 1 1 0= + − − = 2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
b) 2 21 1 1
4 4 2
x y x x y y= + + + + + − =∗ 3p
2 2 2 2
2 21 1 1 1 1 1 1 1
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
x x y y x y
          
   = + ⋅ + + + ⋅ + − = + + + −                    
, pentru orice
numere reale x și y
2p
c) 2 2
2 2 2 21 1 1 9
4 2 4
2 2 2 4
x x x x
   
≤ ⇔ + − ≤ ⇔ + ≤∗    
    , de unde obținem 2 1 3
2 2
x + ≤ 3p
[ ]1,1x ∈ − 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
4 2 11 1 1
' 2 4 2 2
2 2 2 2 2 2
x
f x x x
x x x
+ −
= + − ⋅ = + − = =
+ + + 3p
( )( ) ( )( )
( )
( )( )
( )
2 2 1 2 2 1 2 3 2 5
2 2 2 2
x x x x
x x
+ − + + + +
= =
+ + , ( )2,x ∈ − +∞ 2p
b)
( ) ( ) ( )2 1 ln 24 ln 22lim lim lim 2x x x
xx x f x x
x x x→+∞ →+∞ →+∞
++ − +
= = = 2p
1
2lim 0
2x
x
→+∞
+= = 3p
c) ( )' 0f x ≤ , pentru orice 3
2, 2
x f
 
∈ − − ⇒   este descrescătoare pe 3
2, 2
 
− −   și ( )' 0f x ≥ ,
pentru orice 3 ,
2
x f
 
∈ − +∞ ⇒  este crescătoare pe 3 ,
2
 
− +∞   , 3 15 1 ln 2
2 4 2
f  
− = − + 
 
3p
Pentru orice ( )2,x ∈ − +∞ , ( ) 3
2
f x f  
≥ − 
  , deci ( )2 1 15 1
4 ln 2 ln 2
2 4 2
x x x+ − + ≥ − + , de unde
obținem ( )2 15 1
4 ln 2 4
4 2
x x x+ + ≥ + , pentru orice ( )2,x ∈ − +∞
2p
2.a)
( ) ( ) ( )
3 3 3
2 2
0 0
3
1 1 2 3
3 0
x
x f x dx x dx x
 
+ = + + = + =  
 
∫ ∫ 3p
27 9 18
3
= + = 2p
b)
( ) ( )
3 3 2 2
2
1 1
3 32 ln 1
21 1 1
x x
x f x dx x dx x
x
 
= + = + + = 
+ 
∫ ∫ 3p
9 1 ln10 ln 2 4 ln 5
2
−
= + − = + 2p
c) F este o primitivă a funcției f și f este continuă, deci, pentru orice număr real x ,
( ) ( ) ( )
1
1
x
x
F x F x f t dt
+
+ − = ∫ 2p
( ) 2
2
1 1
1
f t t
= + >
+ , pentru orice număr real t , deci ( )
1 1
1 1 1
x x
x x
f t dt dt x x
+ +
≥ = + − =∫ ∫ , de unde
obținem că ( ) ( )1 1F x F x+ ≥ + , pentru orice număr real x
3p