Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2021

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Se consideră numărul complex 3 2z i= + . Arătați că 13 6z z
+ = .
5p 2. Se consideră funcțiile :f →ℝ ℝ , ( ) 3 5f x x= − și :g →ℝ ℝ , ( ) 2
g x x x= + . Determinați
numărul real a pentru care ( )( ) ( )( )f g a f g a= −  .
5p 3. Rezolvați în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 5 1
3 9 3x x+ +
= ⋅ .
5p 4. Se consideră A , o mulțime cu 4 elemente. Calculați probabilitatea ca, alegând o mulțime din
mulțimea submulțimilor lui A , aceasta să aibă un număr impar de elemente.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,3A , ( )3,5B și ( )0,6C . Determinaţi ecuația
dreptei d care trece prin punctul A și este paralelă cu mediana din vârful C a triunghiului ABC .
5p 6. Calculați lungimea laturii BC a triunghiului ABC , știind că 2AB = , 2 3AC = și 3
B
π
= .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră a un număr real nenul și matricea ( )
1 2 0 4
0 0
0 1 2
x x
A x a
x x
+ − 
 
=  
 − 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det A x a= , pentru orice număr real x .
5p b) Determinați numărul real nenul a astfel încât ( ) ( ) ( )A x A y A x y⋅ = + , pentru orice numere reale
x și y .
5p c) Pentru 1a = , determinați matricea ( )3X ∈ ℝ
M pentru care ( ) ( )2 3A X A⋅ = .
2. Pe mulțimea [ )0,M = +∞ se definește legea de compoziție asociativă ( )2log 2 2 1x y
x y∗ = + − .
5p a) Arătați că 0 2021 2021∗ = .
5p b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „ ”∗ .
5p c) Determinați x M∈ pentru care ( ) ( ) 21 2 log 54x x x∗ + ∗ + = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2
2
1
1
x x
f x x
+ +
= + .
5p a) Arătați că ( )
( ) ( )( )
2
2 2 2
1
2 1 1 1
x
f x
x x x x
−
′ =
+ + + +
, x ∈ ℝ .
5p b) Determinaţi ecuaţia asimptotei orizontale spre −∞ la graficul funcţiei f .
5p c) Demonstrați că
2 2
2 2
1 1
2 6
1 1
x x x x
x x
+ + − +
≤ + ≤
+ + , pentru orice număr real x .
2. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2 3 2lnf x x x= + − .
5p a) Arătați că ( )( )
3
1
2ln 14f x x dx+ =∫ .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
5p b) Calculați ( )( )
1
2 3
e
x f x dx+ −∫ .
5p c) Arătați că ( ) ( )1 2 3
0
4 2 ln 2
1 3
x f x dx −
+ =∫ .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) ( )
2
13 3 2 13 3 213 13
3 2 3 2 3 2
3 2 139 4
i i
z i i i
z i i
− −
+ = + + = + + = + + =
+ − 3p
3 2 3 2 6i i= + + − = 2p
2. ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 5 3 5f g a f g a g a g a g a g a= − ⇔ − = − − ⇔ = − 3p
2 2 0a a a a a+ = − ⇔ = 2p
3. 3 5 2 1 3 5 3
3 3 3 3 3x x x x+ + + +
= ⋅ ⇔ = 3p
3 5 3 1x x x+ = + ⇒ = − 2p
4. Numărul submulțimilor lui A este egal cu 4
2 , deci sunt 16 cazuri posibile 2p
Numărul submulțimilor lui A cu un număr impar de elemente este egal cu 1 3
4 4 8C C+ = , deci
sunt 8 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 8 1
nr. cazuri posibile 16 2
p = = = 1p
5. ( )2, 4M este mijlocul segmentului AB , deci 1CMm = − 2p
1dd CM m⇒ = −
 , deci ecuația dreptei d este ( )A d Ay y m x x− = − , adică 4y x= − + 3p
6. 2 2 2 2 1
2 cos 12 4 2 2 2
AC AB BC AB BC B BC BC= + − ⋅ ⋅ ⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ 3p
2 2 8 0 4BC BC BC− − = ⇒ = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( )( ) ( )( ) 2
1 2 0 4
det 0 0 1 2 1 2 4
0 1 2
x x
A x a a x x ax
x x
+ −
= = + − + =
−
3p
( )2 2
1 4 4a x ax a= − + = , pentru orice număr real x 2p
b)
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
1 2 0 4
0 0
0 1 2
x y x y
A x A y a
x y x y
 + + − + 
 
⋅ =  
  + − +
 
, ( )
( ) ( )
( )
1 2 0 4
0 0
0 1 2
x y x y
A x y a
x y x y
 + + − + 
 
+ =  
 + − + 
,
pentru orice numere reale x și y
3p
( ) ( ) ( ) 2
A x A y A x y a a⋅ = + ⇒ = și, cum a un număr real nenul, obținem 1a = 2p
c) ( ) ( ) ( ) 32 2 0A A A I− ⋅ = = , deci ( )2A − este inversa matricei ( )2A 2p
( ) ( ) ( )
3 0 4
2 3 1 0 1 0
1 0 1
X A A X A X
− 
 
= − ⋅ ⇒ = ⇒ =  
 − 
3p
2.a) ( ) ( )0 2021 2021
2 20 2021 log 2 2 1 log 1 2 1∗ = + − = + − = 3p
2021
2log 2 2021= = 2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
b) ( )2log 2 2 1 2 2 1 2x e x e x
x e x x∗ = ⇔ + − = ⇔ + − = , pentru orice [ )0,x∈ +∞ , de unde obținem
2 1e = , deci 0e M= ∈
3p
Cum ( )20 log 1 2 1x
x x∗ = + − = , pentru orice [ )0,x ∈ +∞ , obținem că 0e = este elementul
neutru al legii de compoziție „ ”∗
2p
c) ( ) ( ) ( )1 2
21 2 log 2 2 2 2x x x
x x x + +
∗ + ∗ + = + + − , x M∈ 3p
( )1 2
2 2log 2 2 2 2 log 54 7 2 2 54 2 8x x x x x+ +
+ + − = ⇒ ⋅ − = ⇒ = , deci 3x = , care convine 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) 2 2
2 2
'1 1 1' 2 1 1
x x x
f x x x x
 + + +
= ⋅ =  + + + 
2p
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
2 22 2
2 2 2 2 22
2 1 1 1 21 1 1
2 1 2 1 1 11
x x x x xx x
x x x x x xx
+ + − + + ⋅+ −
= ⋅ =
+ + + + + ++
, x ∈ ℝ 3p
b)
( ) 2 2
2
2
1 1
1
1
lim lim lim 1
11 1
x x x
x x x xf x x
x
→ −∞ → −∞ → −∞
+ +
+ +
= = =
+ +
3p
Dreapta de ecuație 1y = este asimptotă orizontală spre −∞ la graficul funcţiei f 2p
c) ( ) 0f x′ ≤ , pentru orice ( ], 1x f∈ −∞ − ⇒ descrescătoare pe ( ], 1−∞ − , ( ) 0f x′ ≥ , pentru
orice [ ]1,1x f∈ − ⇒ crescătoare pe [ ]1,1− și ( ) 0f x′ ≤ , pentru orice [ )1,x f∈ +∞ ⇒
descrescătoare pe [ )1, +∞
2p
( ) 2
1 2
f − = , ( ) 6
1 2
f = și ( ) ( )
2 6
lim 1 2 2x f x f x
→ +∞ = ⇒ ≤ ≤ , pentru orice număr real x ,
deci ( ) ( ) 2 2
2 2
1 1
2 6 2 6
1 1
x x x x
f x f x x x
+ + − +
≤ + − ≤ ⇒ ≤ + ≤
+ + , pentru orice număr
real x
3p
2.a)
( )( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 2
1 1 1
3
2ln 2 3 2ln 2ln 2 3 3 1
f x x dx x x x dx x dx x x+ = + − + = + = + =∫ ∫ ∫ 3p
9 9 1 3 14= + − − = 2p
b)
( )( )
1 1 1
1
2 3 2 ln 2 ln 2
1
e e ee
x f x dx x dx x x x dx
x
+ − = = − ⋅ =∫ ∫ ∫ 3p
( )2 2 1 2e e= − − = 2p
c)
( ) ( ) ( )
1 2 2 2
2 3
0 1 1 1
1 1
1 2 3 2 ln
3 3
x f x dx f t dt t dt tdt
 
 + = = + − =
 
 
∫ ∫ ∫ ∫ 3p
( ) ( ) ( )2 2 4 2 ln 21 1
3 2 ln 2 4 6 4ln 2 4 1 3 2
3 3 31
t t t t t −
= + − + = + − + − − − = 2p