Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M1 Mate-Info 2021 – varianta 4

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 4
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 4
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați media aritmetică a numerelor reale 2021 2a = − și 2021 2b = + .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 3 1f x x x= − + . Determinați numărul real m , știind că
punctul ( )1,A m aparține graficului funcției f .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( ) ( )3 3log 3 log 3 2x x+ + − = .
5p 4. Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi, știind că aceasta are exact 16 submulțimi.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )3,0M , ( )8,3N și ( )6,3P . Determinaţi
coordonatele punctului Q , știind că MN MP MQ+ =
   .
5p 6. Se consideră triunghiul ascuțitunghic ABC în care sin 2 cos sinA A A⋅ = . Arătați că 4
A
π
= .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
2
1 0 0
0 0
1 log 0 1
A a a
a
 
 
=  
 + 
, unde ( )0,a ∈ +∞ .
5p a) Arătați că ( )( )det 1 1A = .
5p b) Demonstrați că, pentru orice ( )0,a ∈ +∞ , matricea ( )A a este inversabilă.
5p c) Demonstrați că, pentru orice ( )0,a ∈ +∞ , ( ) ( )( )( )1
det 8A a A a −
+ ≥ , unde ( )( ) 1
A a − este inversa
matricei ( )A a .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție ( ) ( )1x y xy m x y m m= − + + + ,
unde ( )0,m ∈ +∞ .
5p a) Pentru 1m = , arătați că 2 2 2= .
5p b) Demonstrați că, dacă 2 1 5= , atunci 2 5 1= .
5p c) Determinaţi numărul real x , știind că ( ) ( )3 2
mx mx m− = , pentru orice ( )0,m ∈ +∞ .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 4 2 4lnf x x x= − − .
5p a) Arătaţi că ( ) ( )( )( )2
4 1 1 1
' x x x
f x x
+ + −
= , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați intervalele de monotonie a funcției f .
5p c) Demonstrați că ecuația ( ) 0f x = are exact două soluții distincte în intervalul ( )0, +∞ .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 4
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 4
2
1 1
x
f x x
= + + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
1 4
0
11
1 5
x f x dx+ = .
5p b) Se consideră :F →ℝ ℝ o primitivă a funcției f . Știind că graficul funcției F are asimptotă
oblică spre +∞ , determinați panta acestei asimptote.
5p c) Se consideră funcția :G →ℝ ℝ , primitiva funcției f pentru care ( )0 0G = . Arătați că
( )
1
0
1 1 ln 2
3 8 4
xG x dx
π
= + − .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 4
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 4
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2021 2 2021 2
2 2
a
a b
m + − + +
= = = 3p
2 2021 2021
2
⋅
= = 2p
2. ( )1 1 3 1f m m= ⇔ − + = 3p
1m = − 2p
3. ( )( )( )3log 3 3 2x x+ − = , deci ( )2 2
9 3x − = 3p
9 9x − = , deci 18x = , care convine 2p
4. O mulțime cu n elemente are 2n submulțimi 3p
2 16n = , deci 4n = 2p
5. MNQP este paralelogram, deci segmentele MQ și PN au același mijloc 3p
Coordonatele punctului Q sunt 11x = și 6y = 2p
6. În ABC∆ , 2sin cos cos sinA A A A⋅ ⋅ = , deci 2 1
cos 2
A = 3p
Cum unghiul A este ascuțit, obținem 1
cos 2
A = , deci 4
A
π
= 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
1 0 0 1 0 0
1 0 1 0 det 1 0 1 0
1 0 1 1 0 1
A A
 
 =  = =
 
 
2p
1 0 0 0 0 0 1= + + − − − = 3p
b)
( )( ) 2
1 0 0
det 0 0
1 log 0 1
A a a a
a
= =
+
, pentru orice ( )0,a ∈ +∞ 3p
( )( )det 0A a ≠ , pentru orice ( )0,a ∈ +∞ , deci matricea ( )A a este inversabilă 2p
c)
( )( ) 1
2
1 0 0
1
0 0
1 log 0 1
A a a
a
−
 
 
=  
  − − 
, pentru orice ( )0,a ∈ +∞ 2p
( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )1 1
2 0 0
1 1
0 0 det 4
0 0 2
A a A a a A a A a a
a a
− −
 
   
+ = +  + = +   
   
 
și, cum 1 2a a
+ ≥ ,
obținem că ( ) ( )( )( )1
det 8A a A a −
+ ≥ , pentru orice ( )0,a ∈ +∞
3p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 4
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2.a) Pentru 1m = , obținem ( ) 2x y xy x y= − + +
 , deci ( )2 2 2 2 2 2 2= ⋅ − + + =
 3p
4 4 2 2= − + = 2p
b) ( ) ( ) 2
2 1 5 2 1 2 1 1 5 2 3 0m m m m m= ⇔ ⋅ − + + + = ⇔ − − =
 și, cum ( )0, 3m m∈ +∞  = 3p
( )2 5 2 5 3 2 5 3 4 10 21 12 1= ⋅ − + + ⋅ = − + =
 2p
c) ( ) ( )2 5 3 2 2 2 5 3 2 1 0m x m mx mx m m m m x x x− − − + + = ⇔ + − − = 2p
Cum ( )0,m ∈ +∞ , obținem ( ) ( )( )3 2 2 2 3
1 1 0 1 1 0x x x x x+ − − = ⇔ + − = , deci 1x = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) 4
3 4 4 4
4 x
f x x x x
−
′ = − = = 3p
( ) ( )( )( )4 2
4 1 4 1 1 1x x x x
x x
− + + −
= = , ( )0,x ∈ +∞ 2p
b) ( ) 0 1f x x′ = ⇔ = 2p
( )' 0f x ≤ , pentru orice ( ]0,1x ∈ , deci f este descrescătoare pe ( ]0,1 și ( )' 0f x ≥ , pentru
orice [ )1,x ∈ +∞ , deci f este crescătoare pe [ )1, +∞ 3p
c) ( )
0
lim
x
f x
→
= +∞ , ( )lim
x
f x
→+∞
= +∞ 2p
Cum ( )1 1f = − , f este continuă, f este strict descrescătoare pe ( )0,1 și f este strict
crescătoare pe ( )1, +∞ , obținem că ecuația ( ) 0f x = are exact două soluții distincte în
intervalul ( )0, +∞
3p
2.a)
( ) ( ) ( )
1 1 5
4 4 2
0 0
1
1 1 2 5 0
x
x f x dx x x dx x x
 
+ = + + = + + =  
 
  3p
1 11
1 1
5 5
= + + = 2p
b) ( ) ( ) ( ) 4
' 2
lim lim lim lim 1 1
' 1x x x x
F x F x x
f x
x x x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
 
= = = + = 
+  3p
Asimptota oblică spre +∞ la graficul funcției F are panta egală cu 1 2p
c)
( ) ( ) ( )( ) ( )2 2
4
0 0
2
1 arctg arctg
1 0
x x xt
G x f t dt dt t t x x
t
 
= = + = + = + 
+ 
  , x ∈ ℝ 2p
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 13 3
2 2 2 2 2 2
4
0 0 0 0
1 11 1 1'
arctg arctg arctg
3 2 3 2 10 0
x x
xG x dx x x x dx x x dx x x dx
x
= + = + = + − =
+
   
( )4 11 1 1 1 1
ln 1 ln 2
3 2 4 4 3 8 40
x
π
π
= + ⋅ − + = + −
3p