Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M1 Mate-Info 2021 – varianta 2

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( ) ( )2
1 2 1 2 0i i+ − + + = , unde 2 1i = − .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 5f x x ax= + − , unde a este număr real. Determinați numărul
real a , știind că punctul ( )1,2M aparține graficului funcției f .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( ) ( )2
4 4 4log 1 log log 1x x x+ = + + .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
acesta să fie divizibil cu 2 și cu 5 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )3, 4M , ( )0,1N și ( )3, 0P . Determinaţi ecuaţia
dreptei d care trece prin punctul P şi este paralelă cu dreapta MN .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în C . Arătați că 1
tg tg
B A
= .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 
 
=  
 
 
și ( )
2 0
0 2 0
3 0 2 3
a a
A a
a a
+ − 
 
=  
 − 
, unde a este număr real.
5p a) Arătaţi că ( )( )det 0 8A = .
5p b) Determinați matricea ( )3B ∈ ℝ
M , știind că ( ) 32aB A a I= − , pentru orice număr real a .
5p c) Determinați numărul natural n pentru care ( ) ( )( )det 0A n A n⋅ − > .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă ( )1
2
x y x y x y∗ = + + − .
5p a) Arătați că 2 0 2∗ = .
5p b) Demonstrați că, dacă a și b sunt numere reale astfel încât a b≤ , atunci a b b∗ = .
5p c) Determinați numerele reale x pentru care ( ) ( ) ( )2
2 1 2 10x x x∗ + ∗ − = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 3f x x x= − + .
5p a) Arătați că ( ) 2
2
3
3
x x
f x
x
+ −
′ =
+
, x ∈ ℝ .
5p b) Determinați ecuaţia asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcţiei f .
5p c) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui a pentru care ecuația ( )f x a= are soluție.
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 3
x
f x x x
= + + .
5p a) Arătaţi că ( ) ( )
2 2
0
3 2x x f x dx+ + =∫ .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
5p b) Arătați că ( )
2
1
9
ln 5
g x dx =∫ , unde ( ): 0,g +∞ → ℝ , ( ) ( )
2 1x
g x f x
x
+
= ⋅ .
5p c) Se consideră numerele reale a și b , cu 0 a b≤ < . Pentru fiecare număr natural nenul n , se
consideră numărul ( )
b n
n
a
I f x dx= ∫ . Demonstraţi că lim 0n
n I
→+∞ = .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) ( )2 2
1 2 1 2 1 2 2 2 2i i i i i+ − + + = + + − − + = 3p
1 1 0= − = 2p
2. ( )1 2 1 5 2f a= ⇒ + − = 3p
6a = 2p
3. ( ) ( )( )2
4 4log 1 log 1x x x+ = + , deci 2 2
1x x x+ = + 3p
1x = , care convine 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri
posibile 2p
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 9 numere divizibile cu 2 și cu 5 , deci
sunt 9 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 9 1
nr. cazuri posibile 90 10
p = = = 1p
5. 1MNm = și, cum dreptele sunt paralele, obținem 1dm = 3p
P d∈ , deci ecuația dreptei d este ( )P d Py y m x x− = − , adică 3y x= − 2p
6. tg BC
A AC
= 2p
1 1
tg tg
AC
B BCBC A
AC
= = = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
2 0 0 2 0 0
0 0 2 0 det 0 0 2 0
0 0 2 0 0 2
A A
 
 = ⇒ = =
 
 
2p
8 0 0 0 0 0 8= + + − − − = 3p
b)
( ) 3
2 0 2 0 0 0
2 0 2 0 0 2 0 0 0 0
3 0 2 3 0 0 2 3 0 3
a a a a
A a I
a a a a
+ − −     
     − = − =
     − −     
, pentru orice număr real a 3p
1 0 1
0 0 0
3 0 3
aB a
− 
 =  − 
, pentru orice număr real a , deci
1 0 1
0 0 0
3 0 3
B
− 
 =  − 
2p
c)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2
2
2 2
4 2 0 2
0 4 0 det 64 1
6 0 4 6
n n
A n A n A n A n n
n n
 + −
 
⋅ − = ⇒ ⋅ − = − 
 
− 
, unde n este număr
natural
3p
( )2
64 1 0n− > şi, cum n este număr natural, obţinem 0n = 2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2.a) ( )1
2 0 2 0 2 0
2
∗ = + + − = 3p
( )
1 2 2 2
2
= + = 2p
b) a b a b b a≤ ⇒ − = − 2p
( ) ( )
1 1 1 2
2 2 2
a b a b a b a b b a b b∗ = + + − = + + − = ⋅ = , pentru orice numere reale a și b
astfel încât a b≤
3p
c) 2 1 2x x+ ≥ și 2 1 2x x+ ≥ − , pentru orice număr real x , deci ( ) ( )( ) ( )2
2 1 2x x x∗ + ∗ − =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
1 2 2 1 1x x x x x= + ∗ − = − ∗ + = + , pentru orice număr real x
3p
2 1 10x + = , deci 3x = − sau 3x = 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 2
2
1
2 3
x
f x
x
′ = − =
+ 3p
2
2 2
3
1
3 3
x x x
x x
+ −
= − =
+ +
, x ∈ ℝ 2p
b)
( ) ( ) ( )2 2
2
2 2
3 3
lim lim 3 lim lim 0
3 3x x x x
x x
f x x x
x x x x→ +∞ → +∞ → +∞ → +∞
− + −
= − + = = =
+ + + +
3p
Dreapta de ecuație 0y = este asimptota orizontală spre +∞ la graficul funcţiei f 2p
c) ( )' 0f x > , pentru orice număr real x , deci f este strict crescătoare 2p
Cum ( )lim
x
f x
→ −∞
= −∞ , ( )lim 0
x
f x
→ +∞
= și f este funcție continuă, ecuația ( )f x a= are
soluție ( ),0a⇔ ∈ −∞
3p
2.a)
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2
0 0 0
2
3 3 23 0
x x
x x f x dx x x dx x dx
x x
+ + = + + = = =
+ +
∫ ∫ ∫ 3p
4 2
2
= = 2p
b)
( ) ( )22 2 2
2 2
1 1 1
'32 1
3 3
x xx
g x dx dx dx
x x x x
+ ++
= = =
+ + + +
∫ ∫ ∫ 3p
( )2 2 9
ln 3 ln 9 ln 5 ln 51
x x= + + = − = 2p
c)
2
1
0 23
x
x x
≤ ≤
+ + , pentru orice [ )0,x∈ +∞ , deci ( ) 1
0 2
n
n
f x  
≤ ≤  
  , pentru orice [ )0,x∈ +∞ și
orice număr natural nenul n
2p
( ) ( )
1
0 2
nb n
n
a
I f x dx b a
 
≤ = ≤ − 
 
∫ , pentru orice număr natural nenul n și, cum 1
lim 0
2
n
n→+∞
  = 
  ,
obținem că lim 0n
n I
→+∞ =
3p