Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M1 Mate-Info 2021

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Se consideră progresia geometrică ( ) 1n n
b ≥ cu 2 2b = și 4 4b = . Determinaţi 6b .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 2f x x x m= − + , unde m este număr real. Determinați
numărul real m pentru care vârful parabolei asociate funcției f este situat pe dreapta 3y x= .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 1
4 2 3 0x x+
− − = .
5p 4. Determinați numărul de numere naturale de trei cifre care au exact două cifre egale.
5p 5. Segmentele AB și ' 'A B au același mijloc. Demonstrați că ' ' 0AB BA+ =
   .
5p 6. Demonstrați că, în orice triunghi ABC , are loc relația ( )2 sin sin sinAB AC BC R A B C+ + = + + ,
unde R este raza cercului circumscris triunghiului.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră sistemul de ecuații
( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 2
1
ax a y a z a
bx b y b z b
y z
 + + + + =
 + + + + =
 + =
și matricea ( )
1 2
, 1 2
0 1 1
a a a
X a b b b b
+ + 
 
= + + 
 
 
,
unde a și b sunt numere reale.
5p a) Arătați că ( )( )det 0,1 1X = .
5p b) Demonstrați că, pentru orice numere reale distincte a și b , sistemul de ecuații are soluție unică.
5p c) Demonstrați că, dacă ( )0 0 0, ,x y z este soluție a sistemului de ecuații, atunci 2 2
0 0 02 3y z ax− − = ,
pentru orice număr real a .
2. Pe mulţimea ( )2,M = +∞ se defineşte legea de compoziţie asociativă ( ) ( )3log 1
1 1
y
x y x −
∗ = − + .
5p a) Arătați că 5 10 17∗ = .
5p b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „ ∗ ”.
5p c) Determinați x M∈ pentru care x x x x x∗ ∗ = ∗ .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 4 2x
f x e x= + + .
5p a) Arătați că ( ) 2 3
2 4
2
'
2
x
x
e x
f x
e x
+
=
+ +
, x ∈ ℝ .
5p b) Demonstrați că tangenta la graficul funcției f în punctul de abscisă 0x = , situat pe graficul
funcției f , este paralelă cu dreapta de ecuație 3 0x y− = .
5p c) Demonstrați că funcția f are un unic punct de extrem.
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 2
1 1 1
2 1 3
f x x x
 
= − 
+ +  .
5p a) Arătați că ( )
1
2
0
1
2 43
f x dx
x
π 
+ = 
+ 
∫ .
5p b) Demonstrați că orice primitivă F a funcției f este strict crescătoare.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
5p c) Arătați că, pentru orice numere reale a și b , cu a b< , ( ) ( )2 0
b
a
f x F x dx >∫ , pentru orice primitivă
F a funcției f .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 2
4 2 6 64 2b b b b= ⋅ ⇒ = 3p
6 8b = 2p
2. 1Vx = , 1Vy m= − , unde ( ),V VV x y este vârful parabolei asociate funcției f 2p
3 1 3V Vy x m= ⇔ − = , deci 4m = 3p
3. ( )( )2
2 2 2 3 0 2 1 2 3 0x x x x
− ⋅ − = ⇒ + − = 3p
Cum 2 0x > , obținem 2log 3x = 2p
4. Numerele naturale de trei cifre care au exact două cifre egale sunt de forma aab , aba sau
baa , unde a și b sunt cifre distincte 2p
Sunt 9 9 81⋅ = de numere de forma aab , 9 9 81⋅ = de numere de forma aba și 9 9 81⋅ = de
numere de forma baa cu a și b cifre distincte, deci numărul cerut este 81 3 243⋅ = 3p
5. AM MB=




 


 și ' 'A M MB=





 



 , unde M este mijlocul segmentelor AB , respectiv ' 'A B 2p
' ' ' ' 0 0 0AB BA AM MB BM MA+ = + + + = + =




 


 



 



 



 



    3p
6. 2 sin sin sin
BC AC AB
R A B C
= = = 2p
2 sin , 2 sinBC R A AC R B= = și ( )2 sin 2 sin sin sinAB R C AB AC BC R A B C= ⇒ + + = + + 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
0 1 2 0 1 2
0,1 1 2 3 det 0,1 1 2 3
0 1 1 0 1 1
X X
 
 
= ⇒ = = 
 
 
2p
0 2 0 0 0 1 1= + + − − − = 3p
b)
( )( )
1 2
det , 1 2
0 1 1
a a a
X a b b b b b a
+ +
= + + = − , pentru orice numere reale a și b 3p
Pentru a b≠ , ( )( )det , 0X a b ≠ , deci sistemul de ecuații are soluție unică 2p
c) Dacă a b≠ , sistemul are soluția unică ( )0,2, 1− și ( )22 2 2
0 0 02 2 1 2 0 3y z ax a− − = − − − ⋅ = ,
pentru orice număr real a 2p
Dacă a b= , sistemul are soluțiile ( ), 2 , 1a a
α α α+ − − , unde
α ∈ ℝ , deci 2 2
0 0 02y z ax− − =
( ) ( )2 2 2 2 2 2
2 1 2 4 4 1 2 2 3a a a a a a a a
α
α α
α α
α α α= + − − − − = + + − − − − = , pentru orice
număr real a
3p
2.a) ( ) ( )3 3log 10 1 log 9
5 10 5 1 1 4 1
−
∗ = − + = + = 3p
2
4 1 17= + = 2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
b) ( ) ( ) ( ) ( )3 3log 1 log 1
1 1 1 1
e e
x e x x x x x
− −
∗ = ⇔ − + = ⇔ − = − , pentru orice x M∈ , de unde
obținem ( )3log 1 1e − = , deci 4e M= ∈ 3p
Cum ( ) ( )3log 1
4 3 1 1 1
x
x x x
−
∗ = + = − + = , pentru orice x M∈ , obținem că 4e = este
elementul neutru al legii de compoziție „ ∗ ” 2p
c) ( ) ( )3log 1
1 1
x
x x x −
∗ = − + , ( ) ( )2
3log 1
1 1
x
x x x x −
∗ ∗ = − + , pentru orice x M∈ 2p
Cum x M∈ , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
3 3log 1 log 1 2
3 31 1 log 1 log 1
x x
x x x x
− −
− = − ⇒ − = − , deci ( )3log 1 0x − =
sau ( )3log 1 1x − = și, cum 2x > , obținem 4x = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) 2 3
2 4
2 4
'
2 2
x
x
e x
f x
e x
+
= =
+ + 3p
( )2 3 2 3
2 4 2 4
2 2 2
2 2 2
x x
x x
e x e x
e x e x
+ +
= =
+ + + +
, x ∈ ℝ 2p
b) Panta tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 0x = , situat pe graficul funcției
f , este egală cu ( ) 1
' 0 3
f = 2p
Cum dreapta de ecuație 3 0x y− = are panta egală cu 1
3 , obținem că tangenta la graficul
funcției f în punctul de abscisă 0x = , situat pe graficul funcției f este paralelă cu
dreapta de ecuație 3 0x y− =
3p
c) :g →ℝ ℝ , ( ) ( )2 3 2 2
'2 2 6 0x x
g x e x g x e x= + ⇒ = + > , pentru orice x ∈ ℝ , deci funcția g
este strict crescătoare pe ℝ și, cum ( )lim
x
g x
→−∞
= −∞ , ( )lim
x
g x
→+∞
= +∞ și g este continuă,
există un unic număr real c cu ( ) 0g c =
2p
f este continuă pe ℝ și ( )' 0f x < , pentru orice ( ),x c f∈ −∞ ⇒ este strict descrescătoare
pe ( ],c−∞ și ( )' 0f x > , pentru orice ( ),x c f∈ +∞ ⇒ este strict crescătoare pe [ ),c +∞ ,
deci f are un unic punct de extrem
3p
2.a)
( )
1 1
2 2
0 0
11 1
2 arctg
3 1 0
f x dx dx x
x x
 
+ = = = 
+ + 
∫ ∫ 3p
arctg1 arctg 0 4
π
= − = 2p
b)
:F →ℝ ℝ este o primitivă a funcției ( ) ( ) ( )
( )( )
2 2
2 2
3 11
' 2 1 3
x x
f F x f x x x
+ − +
⇒ = = ⋅ =
+ + 3p
( )( )2 2
1 0
1 3x x
= >
+ + , pentru orice număr real x , deci funcția F este strict crescătoare 2p
c)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 3 3 31 1
' 3 3
b b
a a
b
f x F x dx F x F x dx F x F b F a
a
= = = −∫ ∫ 3p
Cum F este strict crescătoare, obținem că ( ) ( )F a F b< , pentru orice numere reale a și b ,
cu a b< , deci ( ) ( )2 0
b
a
f x F x dx >∫ 2p