Textul subiectului și baremului

Model oficial BAC Matematică M3 Tehnologic 2021

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Model
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că1 1
0,25 10 0,25 10 6
2 2
  
      
   .
5p 2. Se consideră funcţia:f  , 
2 1f x x ax   , undea este număr real. Determinaţi
numărul reala , ştiind că punctul 
2,1A aparţine graficului funcţieif .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia2
3 3 30x x   .
5p 4. Un obiect costă500 de lei. Determinaţi prețul obiectului după o scumpire cu20% .
5p 5. În reperul cartezianxOy se consideră punctele 
0,3A şi 
8,3B . PunctulM este mijlocul
segmentuluiAB . Calculați distanța de la punctulM la punctul 
0,0O .
5p 6. Se consideră triunghiulABC dreptunghic înA , cu5AB  şi10AC  . Calculaţi aria triunghiuluiABC
.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele1 3
1 2
A  
  
  și2
1 0
0 1
I  
  
  .
5p a) Arătați cădet 1A   .
5p b) Arătați că23A A A I   .
5p c) Se consideră matricea1
1
x
X y
 
  
  , undex şiy sunt numere reale. Determinaţi numerele realex
şiy pentru care2 1
1 2
A X X A  
       .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție4x y xy x y   .
5p a) Arătaţi că3 2 29 .
5p b) Demonstrați că  
4 1 4 1 1
4
x y
x y   
 , pentru orice numere realex șiy .
5p c) Determinați mulțimea valorilor reale ale luix pentru care2x x  .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia:f  , 
2 1
x x
f x e x
   .
5p a) Arătaţi că 
 
2
22
1
'
1
x x
f x e
x

 
 ,x  .
5p b) Determinaţi ecuaţia asimptotei orizontale spre la graficul funcţieif .
5p c) Demonstrați că 
2 2 1
2 2
e e
f x
e
 
  , pentru orice 
1,1x   .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcția

: 0,f   ,   
1f x x x  .
5p a) Arătați că 
2
1
5
2
f x dx
x  .
5p b) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axeiOx a graficului funcţiei 
: 0,1g 
,   
g x f x , este egal cu17
12
 .
5p c) Determinați numărul reala , știind că 
2
1
ln
1 4
e f x x x e a
dx
x


 .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Model
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.  
1 1
0,25 10 0,25 10 2,5 0,5 2,5 0,5
2 2
  
         
   2p2 3 6  
3p
2. 
2 1 4 2 1 1f a     3p2a 
2p
3. 
2
3 3 1 30 3 3x x
    3p1x 
2p
4.20 500 100
100   de lei 3p
Prețul după scumpire este500 100 600  de lei 2p
5. Mijlocul segmentuluiAB este punctul 
4,3M 2p   
2 2
4 0 3 0 5OM     
3p
6.2
ABC
AB AC


  2p5 10 25
2

 
3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)1 3
det 1 2 1 3
1 2
A       3p2 3 1   
2p
b)4 9
3 7
A A  
   
  3p2
4 9 3 9 1 0
3 3 7 3 6 0 1
A A A I
     
          
     
2p
c)1 3 3
1 2 2
y x
A X y x
  
   
   ,1 3 2
1 3 2
x x
X A y y
  
   
   , undex şiy sunt numere reale 2p1 3 3 1 3 2 2 1 3 2 1
1 2 2 1 3 2 1 2 3 1 2
y x x x y x x
y x y y y x y
                
            
               
, de unde obținem1x  
și1y  
3p
2.a)3 2 4 3 2 3 2      3p24 5 29  
2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
b)16 4 4 16 4 4 1 1
4 4
xy x y xy x y
x y      
   3p      
4 4 1 4 1 1 4 1 4 1 1
4 4
x y y x y      
 
, pentru orice numere realex șiy 2p
c) 
2
4 1 1
4
x
x x  

, pentru orice număr realx 2p   
2 24 1 1 2 4 1 9 3 4 1 3
4
x x x
          
, de unde obținem1
1, 2
x  
    3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) 
 
 
2
22
1 1 2
'
1
x x x x
f x e
x
   
  

3p   
2 2 2
2 22 2
1 2 1
1 1
x xx x x
e e
x x
  
   
 
,x  2p
b) 
2
1
lim lim lim 0
11
x x
x x x
x
f x e e
x x x
  
 
  
      
   
 
3p
Dreapta de ecuație0y  este asimptota orizontală spre la graficul funcţieif 2p
c) 
 
2
1,1 1 0 ' 0x x f x f        este crescătoare pe 
     
1,1 1 1f f x f     ,
pentru orice 
1,1x   3p
Cum 
2
1 2
e
f e

  și 
2 1
1 2
e
f 
 , obținem 
2 2 1
2 2
e e
f x
e
 
  , pentru orice 
1,1x   2p
2.a)   
2 2 2
1 1
2
1 2 1
f x x
dx x dx x
x
 
      
 
 
3p 
1 5
2 2 1
2 2
 
     
 
2p
b)   
 
1 1 1 4 3 2
22 3 2
0 0 0
12
1 2 4 3 2 0
x x x
V g x dx x x dx x x x dx




 
           
 
  
3p1 2 1 17
4 3 2 12


 
    
 
2p
c) 
2 2 2 2
1 1 1 1 1
'ln 1 1
ln ln ln
1 2 2 2 2 21
e e e e eef x x x x x x e
dx x x dx x dx x dx x dx
x x
 
           
    
3p2 2 2 2 2
1 1 1
2 2 2 2 4 4 41
ee x e e e 
      
, deci1a  2p