Textul subiectului și baremului

Model oficial BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2021

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că numerele2log 3 ,2log 6 și2log 12 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
5p 2. Se consideră funcția:f  , 
2 1f x x x   . Determinați numărul realx pentru care 
f x x
.
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia2 1 2 1x x   .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
acesta să aibă cifra zecilor pară și cifra unităților impară.
5p 5. Determinaţi numărul reala , pentru care vectoriiu ai j  și8 2v i j  sunt coliniari.
5p 6. În triunghiulABC dreptunghic înA ,12BC  și6
B

 . Arătați că aria triunghiuluiABC este
egală cu18 3 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea  2 1 4 4
1 3 2
a a
A a a a
  
  
   , undea este număr real.
5p a) Arătați că 
 
det 2 1A  .
5p b) Demonstrați că     
1A a A b A a b    , pentru orice numere realea șib .
5p c) Determinați numărul naturaln , știind că   
     
   
2 3 4
1 2 2 2 2 32A A A A A A A n       .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție2 2
3 5 2x y x xy y   .
5p a) Arătați că1 2 1 .
5p b) Demonstrați că0x x  , pentru orice număr realx .
5p c) Determinați numerele realex pentru care2 3 0x x  .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia:f  , 
2 2 2f x x x x    .
5p a) Arătaţi că 
2
1
' 1
2 2
x
f x
x x

 
  ,x  .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcțieif în punctul de abscisă1x   , situat pe graficul
funcțieif .
5p c) Demonstrați că   
 
2 22 2 2
1 2 1 2 4 4 2 1x x x x x         , pentru orice număr realx .
2. Se consideră funcţia:f  , 
2
2
1
x
f x
x

 .
5p a) Arătați că  
1 2
0
4 f x dx
  .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
5p b) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcțieif , axaOx și dreptele de ecuații0x 
și1x  are aria egală cu 
2 2 1 .
5p c) Arătați că 
 
22
1
ln 34 17 4 2 4
f x dx
x     .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.2
2 2 2 2log 3 log 12 log 36 log 6    3p22log 6
, deci numerele date sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice 2p
2. 
2 2
1 2 1 0f x x x x x x x         3p1x 
2p
3.2 1 2 1x x   sau2 1 2 1x x    3p0x 
2p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are90 de elemente, deci sunt90 de cazuri
posibile 2p
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt4 5 20  de numere care au cifra zecilor
pară și cifra unităților impară, deci sunt20 de cazuri favorabile 2pnr. cazuri favorabile 20 2
nr. cazuri posibile 90 9
p   
1p
5.1
8 2
a  3p4a 
2p
6.3
cos 6 3
2 12
AB AB
B AB
BC
     3p1 1 1
sin 6 3 12 18 3
2 2 2
ABC AB BC B        
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)   
 
   
3 4 3 4
2 det 2 3 1 1 4
1 1 1 1
A A
 
          
     3p3 4 1   
2p
b)   
2 1 4 4 2 1 4 4 2 2 3 4 4 8
1 3 2 1 3 2 2 2 2 5
a a b b a b a b
A a A b a a b b a b a b
           
                     3p   
     
2 1 1 4 1 4 1
1 1 3 2 1
a b a b A a b
a b a b
       
    
      
, pentru orice numere realea șib 2p
c)   
       
 
2 3 4 2 3 4
1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 4 27A A A A A A A           3p   
 
27 32 1A A n   
, de unde obținem4n  2p
2.a)2 2
1 2 3 1 5 1 2 2 2        3p3 10 8 1   
2p
b)2 2 2
3 5 2x x x x x    3p2 2
2 2 0x x   
, pentru orice număr realx 2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
c)      
2 2
3 2 5 2 3 2 3 0 3 2 2 3 2 3 2 3 0 2 3 3 2 2 3 0x x x x x x x x x x x x x x
                    3p2 3x x

sau1 1
3 2x x 
 , de unde obținem0x  sau1x  2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) 
 
2
2
'2 2
' '
2 2 2
x x
f x x
x x
 
  
 
3p 
2 2
2 1 1
1 1
2 2 2 2 2
x x
x x x x
 
   
   
,x  2p
b) 
1 2f   , ' 1 1f    2p
Ecuația tangentei este     
 
1 ' 1 1y f f x      , adică1y x   3p
c) 
' 0f x  , pentru orice număr realx , decif este descrescătoare pe și, cum2 1 2x x  ,
obținem 
 
2 1 2f x f x  , pentru orice număr realx 3p
Cum       
22 2 2 2
1 1 2 1 2 1f x x x x        și   
2
2 2 2 2 2 2f x x x x     , obținem   
 
2 22 2 2
1 2 1 2 4 4 2 1x x x x x        
, pentru orice număr realx
2p
2.a) 
 
1 1 12
2
2 2
0 0 0
14 1
4 4 4 4arctg
1 1 0
x
f x dx dx dx x
x x
 
         
  
3p 
4 arctg1 arctg0

  
2p
b) 
 
21 1 1
2 2
0 0 0
'12
1 1
xx
f x dx dx dx
x x

   
 
  
3p 
2 1
2 1 2 2 1
0
x   
2p
c)   
 
2 22 2 2 22
4 4 221 1 1 1
'
2 2
1 1 1
f x xx x
dx dx dx dx
x x x x x
   
  
   
3p 
 
2 4 2 4 17
ln 1 ln ln 34 17 4 2 4
1 21
x x 
       

2p