Textul subiectului și baremului

Model oficial BAC Matematică M1 Mate-Info 2021

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că numărul2 2 2log 6 2log 3 log 24N    este natural.
5p 2. Se consideră funcția:f  , 
2 2f x x x   . Arătați că dreapta de ecuație2y  intersectează
graficul funcțieif în două puncte distincte.
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia2 5 3 1x x   .
5p 4. Determinați numărul de elemente ale unei mulțimiA , știind că mulțimeaA are exact15
submulțimi cu două elemente.
5p 5. Se consideră triunghiulABC și puncteleM ,N șiP mijloacele segmentelorBC ,BM , respectivCM
. Arătați că 
3
2
AM AN AP AB AC    .
5p 6. Determinați 
0,x

 , știind că2
sin 2 2sin 0x x  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea 
1 1 1
, ,A a b c a b c
bc ac ab
 
 
  
 
  , undea ,b șic sunt numere reale.
5p a) Arătați că 
 
det 0,1,2 2A  .
5p b) Demonstrați că 
 
   
det , ,A a b c b a c a c b    , pentru orice numere realea ,b șic .
5p c) Demonstrați că, dacăm ,n șip sunt numere naturale, cum n p  , astfel încât determinantul
matricei 
, ,A m n p este număr prim, atunci numerelem ,n șip sunt termeni consecutivi ai unei
progresii aritmetice.
2. În mulțimea 
3 X , se consideră polinomul4 3 ˆ2f X aX X b    , unde3,a b .
5p a) Pentru1a  șiˆ2b  , arătați că   
ˆ ˆ0 2 2f f  .
5p b) Determinaţi perechile 
,a b , cu3,a b , pentru care polinomulf este divizibil cuˆ2X  .
5p c) Arătați că, pentru orice3,a b , există3,x y  , cux y , astfel încât   
f x f y .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția:f  , 
2
x
x
xe
f x e
  .
5p a) Arătați că 
 
 
2
2 2
2
x x
x
e e x
f x
e
 
 
 ,x  .
5p b) Arătați că dreapta de ecuațiey x este asimptotă oblică spre la graficul funcțieif .
5p c) Demonstrați că funcțiaf are un unic punct de extrem.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcţia:f  ,   
2
2 3
4 5
x
f x
x x


  .
5p a) Arătați că 
1 2
0
4 5 7f x x x dx   .
5p b) Arătați că 
 
1 2
0
4 4ln 2f x dx  .
5p c) Se consideră numerele realea șib , cu0 a b  . Pentru fiecare număr natural nenuln , se
consideră numărul 
b n
n
a
I f x dx  . Demonstraţi călim n
n I
   .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
 Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.2 2 2 2
6 24
log 6 log 9 log 24 log 9
N 
     3p2log 16 4 
, care este număr natural 2p
2. 
2 2
2 2 2 0f x x x x x        2p
Cum ecuația2 0x x  are două soluții reale și distincte, obținem că dreapta2y 
intersectează graficul funcțieif în două puncte distincte 3p
3.2 2
5 3 1 3 4 0x x x x       2p1x  
, care nu convine,4x  , care convine 3p
4. MulțimeaA are2
nC submulțimi cu2 elemente, unden ,2n  , este numărul de
elemente ale luiA 2p2 15nC 
, deci 
1 15
2
n n   , de unde obținem că mulțimeaA are6 elemente 3p
5.M mijlocul lui 
1
2
BC AM AB AC   2pM
mijlocul lui 
1
2
NP AM AN AP   , deci 
3
3 2
AM AN AP AM AB AC     3p
6. 
2
2sin cos 2sin 0 2sin cos sin 0x x x x x x     2p
Cum 
0,x

 , obținem3
4
x

 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)   
 
1 1 1 1 1 1
0,1,2 0 1 2 det 0,1,2 0 1 2
2 0 0 2 0 0
A A
 
 
    
 
 
2p0 0 4 2 0 0 2      
3p
b)  
1 1 1 1 0 0
det , ,A a b c a b c a b a c a
bc ac ab bc ac bc ab bc
    
 
2p   
   
1 0 0
a b a c a b a c a c b
bc c b a b c a
      
   
, pentru orice numere realea ,b șic 3p
c) 
 
   
det , ,A m n p n m p m p n    și, cumm ,n șip sunt numere naturale, cum n p 
, obținem0p m p n    și0p m n m    3p
Cum 
 
det , ,A m n p este număr prim, obținem1p n n m    , deci numerelem ,n șip
sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice 2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2.a)4 3 ˆ ˆ2 2f X X X    , deci 
ˆ0 2f  și 
ˆ2 0f  3p 
 
ˆ ˆ ˆ0 2 2 0 2f f   
2p
b)f este divizibil cu 
ˆ ˆ2 1 0X f   , deci0a b  3p
Cum3,a b , perechile sunt 
0,0 , 
ˆ1, 2 și 
ˆ2,1 2p
c)   
 
ˆ ˆ0 1 2 2f f f   , pentru orice3,a b 3p
Dacă 
0f , 
1f și 
ˆ2f ar fi distincte două câte două, atunci   
 
ˆ0 1 2f f f  ˆ0 1 2 0   
, ceea ce este fals, deci pentru oricea ,3b , existăx ,3y  , cux y ,
astfel încât   
f x f y
2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) 
  
 
2
2
2
2
x x x x
x
e xe e xe
f x
e
  
  

3p 
 
 
2
2 2
2 22 2
2 2
x xx x x
x x
e e xe e xe
e e
  
 
 
,x  2p
b) 
lim lim 1
2
x
xx x
f x e
x e 
 
 2p 
 
 
2 2
lim lim lim 0
2 2
x x
x xx x x
xe x e x
f x x e e  
  
   
 
, deci dreapta de ecuațiey x
este asimptotă oblică spre la graficul funcțieif
3p
c):g  , 
2 2x
g x e x   este strict crescătoare și, cumg este continuă, 
lim
x g x
  
și 
lim
x g x
   , există un unic număr realc , astfel încât 
0g c  3p 
' 0f x 
, pentru orice 
,x c f   este strict descrescătoare pe 
,c și 
' 0f x  ,
pentru orice 
,x c f   este strict crescătoare pe 
,c  și, cumf este continuă,
obținem căf are un unic punct de extrem
2p
2.a)   
 
1 1
2 2
0 0
1
4 5 2 3 6 0
f x x x dx x dx x x       
3p1 6 0 0 7    
2p
b) 
 
 
 
2 21 1 1
2
2 2
0 0 0
4 3 4 4 5 2 4
4 4
4 5 4 5
x x x x
f x dx dx dx
x x x x
    
   
   
  
2p   
21 2
2
0
' 14 5
4 4ln 4 5 4ln 2
4 5 0
x x dx x x
x x
 
    
 

3p
c) Cum   
2
2
4 2 4
4 0
4 5
x
f x x x

  
  și 
0f x  , pentru orice 
0,x   , obținem 
2f x  ,
deci 
2n n
f x  , pentru orice 
0,x   și orice număr natural nenuln
2p
Cum0 a b  ,   
2
b n n
n
a
I f x dx b a   , pentru orice număr natural nenuln și, cumlim 2n
n  
, obținem călim n
n I
  
3p