Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2020 – testul 9

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Test 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Comparați numerele2log 16 și3 125 .
5p 2. Se consideră funcția:f  ,   2 2 2 1f x x a x a     , undea este număr real.
Determinaţi numerele realea pentru care graficul funcțieif este tangent axeiOx .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia2 2 3 5
5 5x x x  
 .
5p 4. Demonstrați că numerele1
4C ,2
4A și2
5A sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
5p 5. În reperul cartezianxOy se consideră punctele 1,1A  , 1,B a și 4,2 1C a  , undea este
număr real. Determinați numărul reala , pentru care puncteleA ,B șiC sunt coliniare.
5p 6. Determinați raza cercului circumscris triunghiuluiMNP , știind că16MN  și  30m P   .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea 
1 1
1 1
1 1
a
A a a
a

  

 
 
 
 
  și sistemul de ecuații1
1
x ay z a
x y az
ax y z
  
    
     , undea este
număr real.
5p a) Arătați că  det 41A   .
5p b) Determinați mulțumea valorilor reale ale luia pentru care matricea A a este inversabilă.
5p c) Arătați că sistemul de ecuații nu admite nicio soluție 0 0 0, ,x y z pentru care0 0 0x y z  .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă3 33 8x y x y    .
5p a) Arătați că 2020 2020 2   .
5p b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „ ”.
5p c) Știind că , este grup, demonstrați că funcția:f  ,  3 8f x x  este morfism de la
grupul , la grupul , .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia : 2f     ,  1 1
2 4
f x x x
 
  .
5p a) Arătați că  lim 2
x
x f x

 .
5p b) Demonstrați că funcţiaf este descrescătoare pe intervalul 2,  .
5p c) Determinați 1,x    pentru care f x  .
2. Se consideră funcția:f  ,  1
x
x
f x e

 .
5p a) Arătați că 
2 2
0
1 1
x dx e
f x
   .
5p b) Calculați 
1 3 2
0
x
e f x dx .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
5p c) Se consideră numerele reale pozitivea ,b șic . Demonstrați că, dacă 
0
1 1
a f x dx
x
  , 
0
1 1
b f x dx
x
 
și 
0
1 1
c f x dx
x
  sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice, atuncia ,b șic sunt termeni
consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Test 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.4
2 2log 16 log 2 4  2p
Cum3 33 125 5 5  , obținem că3
2log 16 125 3p
2.   2 2
2 4 2 1 4a a a a       , undea este număr real 2p
Graficul funcțieif este tangent axei0Ox    , deci0a  sau4a  3p
3.2 2
2 3 5 4 3 0x x x x x        3p1x 
sau3x  2p
4.1
4 4C  ,2
4 12A  și2
5 20A  3p4 20
12 2


, deci1
4C ,2
4A și2
5A sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice 2p
5.1
2
AB
a
m 
 ,1
3
BC
a
m 
 , undea este număr real 2pA
,B șiC sunt coliniare3 3 2 2AB BCm m a a      , deci5a  3p
6.1
sin 2
P  2p2 16
sin
MN
R R
P
  
3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)    
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 det 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
A A
 
 
 
      
 
 
 
 
2p 1 1 1 1 1 1 4         
3p
b)    2
det 3A a a a   , pentru orice număr reala 2p
Matricea A a este inversabilă  det 0A a  , decia 
 3p
c)
Dacă 0 0 0, ,x y z este soluție și0 0 0x y z  , atunci0 0 0
0 0 0
0 0 0
1
1
x ax x a
x x ax
ax x x
  
    
     , undea este număr
real
2p
Obținem0 1ax  și0 1ax   , ceea ce este imposibil 3p
2.a)   3 33 3 332020 2020 2020 2020 8 2020 2020 8          3p3 8 2 
2p
b)x e x  , pentru orice număr realx , deci3 3 3 3 3 3
8 8 2x e x x e x e          3p
Cum   3 33 332 2 8x x x x        , pentru orice număr realx , obținem că2e  
este elementul neutru al legii de compoziție „ ”
2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
c)     3
3 3 3 3 33
8 8 8 8 8f x y x y x y x y             2p   3 3
8 8x y f x f y     
, pentru orice numere realex șiy , decif este morfism de
la grupul , la grupul , 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)   1 1
lim lim lim 2 42 4 1 1
x x x
x x
x f x x x
x x
  
 
  
      
     
 
3p1 1 2  
2p
b)     2 2
1 1
'
2 4
f x
x x
  
  , 2,x    3p ' 0f x 
, pentru orice 2,x    , decif este descrescătoare pe 2,  2p
c)f este continuă,f este descrescătoare pe 1,  ,  4
1 3
f   și lim 0
x
f x

 , deci  4
0, 3
f x  
 
 
, pentru orice 1,x   
3p f x 
, deci  2
1 4 2 0f x x x     și, cum 1,x    , obținem2 2x    2p
2.a) 
2 2
0 0
21
0
x xx dx e dx e
f x
    
3p2 0 2 1e e e   
2p
b)     
1 1 23 2 2
0 0
1
1 1
0
x x x
e f x dx x e dx x e     
3p0
2 2 1e e e   
2p
c) 
1
xf x e
x



,   
0
0, 1 1
a af x
x dx e
x

    
 , 
0
1 1
b bf x dx e
x

 
 , 
0
1 1
c cf x dx e
x

 
 3pa
e
,b
e șic
e sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice 2b a c
e e e  
   ,
deci2b a c
e e  
 , de unde obținem2b a c  , adicăa ,b șic sunt termeni consecutivi ai
unei progresii aritmetice
2p