Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2020 – testul 8

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Test 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 2 2
2
1
log 63 log 7 2
log 3
   .
5p 2. Determinați mulțimea valorilor reale ale luim pentru care ecuația2 0x mx m   nu are soluții
reale.
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia2 20 1
3 81
x   .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un numărn din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta
să verifice inegalitatea ! 1n n n  .
5p 5. În reperul cartezianxOy se consideră punctele 4,0A  , 0,4B și 0,0O . Determinați
coordonatele punctuluiC , știind căAB OC .
5p 6. Determinați numărul reala ,1a  , știind că1a  ,2a și2 1a  sunt lungimile laturilor unui
triunghi dreptunghic.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea 
1 0 ln
0 0
0 0 1
a
A a a
 
   
 
  , unde 0,a   .
5p a) Arătați că  det A e e .
5p b) Demonstrați că       2
det detA a A a A a  , pentru orice 0,a   .
5p c) Determinați numerele , 0,a b  pentru care       2A a A b A a A b   .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă 3 3 2 6 2x y xy x y    
.
5p a) Arătați că2 1 2 .
5p b) Demonstrați că  3 2 2 2x y x y    , pentru orice numere realex șiy .
5p c) Calculați4 5 6 2020
1 2 3 2017 .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia:f  , 
 
 
2
2
2 3 4, ,1
1, 1,
x x x
f x x x x
x
    

     
 .
5p a) Arătaţi că funcțiaf este continuă pe .
5p b) Demonstrați că funcțiaf este crescătoare pe ,1 .
5p c) Demonstraţi că  1f x  , pentru orice număr realx .
2. Se consideră funcţia : 1,f    ,  2
2 4
4 3
x
f x x x

   .
5p a) Arătați că    
1
0
1 3 5x x f x dx   .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
5p b) Calculați 
2
0
f x dx .
5p c) Demonstrați că orice primitivă : 1,F    a funcțieif este concavă.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 8
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Test 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 2 2
2 2
1 63 1
log 63 log 7 log
log 3 7 log 3
     2p2
2 2
2 2
1 1
log 3 2log 3 2
log 3 log 3
    
3p
2.2 4m m   , deci ecuația nu are soluții reale2 4 0m m   3p 4,0m  
2p
3.2 20 4 2
3 3 16x x 
   3p4x  
sau4x  2p
4. Mulțimea numerelor naturale de o cifră are10 elemente, deci sunt10 cazuri posibile 2p ! 1 2n n n n   
sau3n  , deci sunt2 cazuri favorabile 2pnr. cazuri favorabile 2 1
nr. cazuri posibile 10 5
p   
1p
5.4 4AB i j  șiOC a i b j  , unde ,C a b , deci4 4a i b j i j   3p4a 
,4b  2p
6. Cum triunghiul este dreptunghic,2 1 1a a   și     2 2 2
2 1 2 2 1 2 1a a a a a       , deci2 6 0a a  2p
Cuma este număr real,1a  , obținem6a  3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)    
1 0 1 1 0 1
0 0 0 0
0 0 1 0 0 1
detA e e A e e
 
 
    
 
 
2p0 0 0 0 0e e      
3p
b)        2 2
1 0 2ln
0 0 det
0 0 1
a
A a A a a A a A a a
 
 
     
 
 
, pentru orice 0,a   3p       
2
2 2 2
1 0 ln
det 0 0 det
0 0 1
a
A a a a A a A a   
, pentru orice 0,a   2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 8
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
c)   
 
   
 2 0 ln 1 0 ln
0 0 , 0 0
0 0 2 0 0 1
ab ab
A a A b a b A a A b ab
   
   
       
   
   
, pentru orice , 0,a b   3p   2 0 ln 2 0 2ln
0 0 0 2 0 1
0 0 2 0 0 2
ab ab
a b ab ab
   
   
      
   
   
și2a b  , de unde obținem1a  și1b  2p
2.a) 2 1 3 2 1 3 2 2 1 6 2        2p3 2 6 3 2 6 2 2     
3p
b)3 3 2 3 2 6 2x y xy x y      2p      3 2 3 2 2 2 3 2 2 2x y y x y        
, pentru orice numere realex șiy 3p
c)2 2x  ,2 2y  , undex șiy sunt numere reale 2p4 5 6 2020 4 5 7 2020 7 2020
2 2 2
1 2 3 2017 1 2 4 2017 4 2017
    
          
    
3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)   1 1
1 1
lim lim 2 3 4 1x x
x x
x x
f x
 
 
    ,  2
21 1
1 1
1
lim lim 1
x x
x x
x x
f x x 
 
 
  și 1 1f  , deci   
1
lim 1
x
f x f


, de unde obținem căf este continuă în1x 
3p
Cumf este continuă pe ,1 și pe 1,  , obținem căf este continuă pe 2p
b)   ,1 2 3 4x x
x f x      , deci ' 2 ln 2 3 ln 3x x
f x   3p ' 0f x 
, pentru orice ,1x   , deci funcțiaf este crescătoare pe ,1 2p
c)f este crescătoare pe ,1 și continuă în1x  , deci   1f x f și, cum 1 1f  ,
obținem  1f x  , pentru orice ,1x   2p    3
2
1, ' x
x f x x

   
, deci ' 0f x  , pentru orice 1, 2x  și ' 0f x  , pentru
orice 2,x   și, cumf este continuă, 1 1f  și lim 1
x
f x

 , obținem  1f x  ,
pentru orice 1,x  
3p
2.a)        
1 1 2
0 0
1
1 3 2 4 4 0
x x f x dx x dx x x       
3p1 4 0 5   
2p
b)   
2 2 2
2
0 0
22 4 ln 4 3
4 3 0
x
f x dx dx x x
x x

    
 
 
2pln15 ln 3 ln 5  
3p
c)   'F x f x
, 1,x    , deci   
 
2
22
2 4 5
''
4 3
x x
F x
x x
  

  , 1,x    3p '' 0F x 
, pentru orice 1,x    , deci orice primitivăF a funcțieif este concavă 2p