Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2020 – testul 6

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 6
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Test 6
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinaţi suma primilor cinci termeni ai progresiei aritmetice  1n n
a  , știind că1 5a  și rația2r 
.
5p 2. Determinați mulțimea valorilor reale ale luia pentru care ecuația2 1 0x ax a    are soluții reale
distincte.
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația3 2
3 2 1x x    .
5p 4. Calculaţi3 2
4 42 3C A .
5p 5. Se consideră vectoriiu i a j  și 2
2 1v i a j   , undea este număr real. Determinați numărul
reala pentru care vectoriiu șiv sunt coliniari.
5p 6. Se consideră triunghiul ascuțitunghicABC cu8AB  ,8BC  și aria egală cu16 . Determinați
măsura unghiuluiB .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele0 1
1 0
A  
  
  ,2
1 0
0 1
I  
  
  și  2,M x y xI yA  , undex șiy sunt numere
reale.
5p a) Arătați cădet 1A   .
5p b) Demonstrați că     , , ,M x y M a b M xa yb xb ya    , pentru orice numere realea ,b ,x șiy .
5p c) Determinați perechile ,x y de numere reale, știind că  det , 4M x y  și suma elementelor
matricei   , ,M x y M x y este egală cu8 .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definesc legile de compoziție1x y x y    și2x y xy x y    .
5p a) Arătați că     2 1 3 2 1 2 3   .
5p b) Determinați numerele realex pentru care1
3 9
x x
x x 
 
  
  .
5p c) Determinați numerele realex șiy pentru care   1 2 1 2x y    și  4 10x y  .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia:f  ,   
 2 2
5 3, ,1
3, 1,
x x
f x x x x x
   
       .
5p a) Arătaţi că funcțiaf este continuă pe .
5p b) Arătaţi că, pentru orice număr reala ,1a  , tangenta la graficul funcțieif în punctul  ,A a f a
nu este paralelă cu axaOx .
5p c) Demonstraţi că funcțiaf este convexă pe 1,  .
2. Se consideră funcţiile : 0,f   ,  1f x x x   și : 0,g    ,  2
2
x x
g x x

 .
5p a) Demonstraţi că funcţiaf este o primitivă a funcţieig .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 6
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
5p b) Calculaţi 
4
1
g x dx .
5p c) Determinaţi numărul realm ,1m , pentru care   
1
20
m
f x g x dx  .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 6
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Test 6
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.   1
1 2 3 4 5
2 4 5 2 5 4 2 5
2 2
a r
a a a a a      
       3p45
2p
2.   22 4 1 2a a a      2p 0 \ 2a   
3p
3.3 2 2
2 2 6 0x x x x       3p3x  
sau2x  2p
4.   
3 2
4 4
4! 4!
2 3 2 3
3! 4 3 ! 4 2 !
C A     
  2p2 4 3 4 3 8 36 28        
3p
5.2
2
1 2 1 0
2 1
a a a
a
    
 3p1a 
2p
6.sin 8 8 sin
16
2 2
ABC
AB BC B B

   
   3p1
sin 2
B 
și, cum triunghiulABC este ascuțitunghic, obținem că unghiulB are măsura de30 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)0 1 0 0 1 1
1
t 0
de A     
3p0 1 1   
2p
b)2
1 0
0 1
A A I
 
   
  2p          2 2 2 2, , xI yA aI bA xaI xbA yaA ybA A xa yb I xb ya AM x y M a b              ,M xa yb xb ya  
pentru orice numere realea ,b ,x șiy 3p
c)   2 2
det , x y
M x y x y
y x
   , pentru orice numere realex șiy , deci   4x y x y   1p       2 2 2 2
, , , 2 2 2 8M x y M x y M x y xy x y xy      
, deci 2 4x y  2p2x y x y    
sau2x y x y    , deci perechile sunt 2,0 sau 2,0 2p
2.a)   2 1 3 2 1 3 1 2 3 2 3 2 3 2 3           2p         2 1 2 3 2 1 2 1 2 2 3 2 3 2 1 3 1 3 1 3 2 1 3                  
3p
b)2 2 2x x x x   și2 1x x x   , pentru orice număr realx 2p   2 2
3 3 2 2 0
x xx x x x x x x x

        
, deci2x   sau0x  3p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 6
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
c)   1 2 1 2 2 3x y x y       și  4 10 4x y x y     3p
Obținem5x  ,1y   2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)   
1 1
1 1
lim lim 5 3 2
x x
x x
f x x
 
 
   ,   2 2
1 1
1 1
lim lim 3 2
x x
x x
f x x x x
 
 
     și 1 2f  , deci   
1
lim 1
x
f x f


, de unde obținem căf este continuă în1x 
3p
Cumf este continuă pe ,1 și pe 1,  , obținem căf este continuă pe 2p
b)  2
' 2 1
3
x
f x x
x
  
 , 1,x   2p
Tangenta la graficul funcțieif în punctul  ,A a f a are panta egală cu 'f a și, cum ' 0f a 
, pentru orice 1,a   , obținem că ' 0f a  , deci tangenta la graficul funcțieif
în punctulA nu este paralelă cu axaOx , pentru orice 1,a  
3p
c)   2 2
3
'' 2
3 3
f x
x x
 
  , 1,x   2p '' 0f x 
, pentru orice 1,x   , de unde obținem că funcțiaf este convexă pe 1,  3p
2.a)  1
' 1
2
f x x
   3p 
2
2
x x g x
x

 
, pentru orice 0,x    , deci funcțiaf este o primitivă a funcţieig 2p
b)       
4
1
4
4 1
1
g x dx f x f f   
3p7 3 4  
2p
c)              2 2 2
1 1
1 1
' 1
2 21
m m m
f x g x dx f x f x dx f x f m f      
3p   2 9 40 7f m f m    
, care nu convine sau  7f m  , de unde obținem4m  2p