Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2020 – testul 5

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Test 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că  0, 2 10 1 0, 2 10 1 3     .
5p 2. Se consideră funcția:f  ,  2 2f x x  . Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația f x x
.
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia2 6 14x x   .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
acesta să aibă cifra zecilor cu 2 mai mică decât cifra unităților.
5p 5. Determinaţi numărul reala , pentru care0u v  , unde 1u ai a j   și2 3v i j  .
5p 6. Arătaţi că3
tg 4
x  , știind că3
sin 5
x  și0, 2
x
 
 
  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră sistemul de ecuații1
2 4
3 1
x ay
x y az
x y z
 
   
     , undea este număr real și A a matricea
coeficienților sistemului.
5p a) Arătați că  det 0 1A  .
5p b) Pentru1a   , determinați soluția sistemului de ecuații.
5p c) Demonstrați că, pentru orice număr raționalp , matricea A p este inversabilă pentru orice
număr raționalp .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziţie asociativă și cu element neutru101 101 10302x y xy x y    
.
5p a) Arătaţi că  101 101 101x y x y     , pentru orice numere realex şiy .
5p b) Determinaţi numerele reale care sunt egale cu simetricul lor în raport cu legea „ ”.
5p c) Determinaţi numerele întregix șiy , cux y , pentru care202x y  .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia:f  ,  5x
f x e x   .
5p a) Determinați panta tangentei la graficul funcțieif în punctul de abscisă0x  , situat pe graficul
funcțieif .
5p b) Demonstrați că funcțiaf este convexă pe .
5p c) Demonstrați că 1 1x
e x  , pentru orice număr realx .
2. Se consideră funcţia   : 0, 0,f    ,  2 4x
f x x

 .
5p a) Arătați că 
3
1
4 4f x dx
x
 
  
 
 .
5p b) Calculați 
6
2
2 dx
f x .
5p c) Determinați numărul real nenula , știind că  2
1
4 1
ln
e e
f x x dx
x a
 
  
 
 .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 5
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Test 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.     0, 2 10 1 0, 2 10 1 2 1 2 1        3p1 3 3  
2p
2.2 2
2 2 0x x x x      3p1x  
sau2x  2p
3. 4 6 14 24 4 14 5 10x x x x x         3p2x 
, care convine 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are90 de elemente, deci sunt90 de cazuri
posibile 1p
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt7 numere care au cifra zecilor cu 2 mai
mică decât cifra unităților, deci sunt7 cazuri favorabile 2pnr. cazuri favorabile 7
nr. cazuri posibile 90
p  
2p
5.   2 2u v a i a j     3p2a  
2p
6.
Cum2 2
sin cos 1x x  și0, 2
x
 
 
  , obținem2
3 4
cos 1 5 5
x  
   
  3psin 3 5 3
tg cos 5 4 4
x
x x
   
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)    
1 0 0 1 0 0
0 2 1 0 det 0 2 1 0
3 1 1 3 1 1
A A
 
 
    
     
3p1 0 0 0 0 0 1      
2p
b)1
2 4
3 1
x y
x y z
x y z
 
   
   
și  det 1 1 0A     , deci sistemul de ecuații admite soluție unică 2p5x  
,6y   ,20z   3p
c)     2
1 0
2 1 det 3 1
3 1 1
p
A p p A p p p
 
 
      
   
, undep este număr rațional 2p2 1 13
3 1 0 6
p p p 
       
sau1 13
6
p 
   , deci, pentru orice număr
raționalp ,  det 0A p  , adică matricea A p este inversabilă
3p
2.a)   101 101 10201 101 101 101 101 101x y xy x y x y y            3p  101 101 101x y   
, pentru orice numere realex şiy 2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 5
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
b) Elementul neutru al legii „ ” este102e  2p 2
102 101 1x x x x x      
, de unde obținem100x  sau102x  3p
c)     202 101 101 101 202 101 101 101x y x y x y           2p
Cumx șiy sunt numere întregi cux y și 101 este număr prim, obținem0x  și100y 
sau102x  și202y  3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ' 1x
f x e  ,x  3p
Panta tangentei la graficul funcțieif în punctul de abscisă0x  , situat pe graficul funcțieif
este egală cu  0' 0 1 0f e   2p
b) '' x
f x e ,x  2p '' 0f x 
, pentru orice număr realx , deci funcțiaf este convexă pe 3p
c)  0 0f x x    1p  0f x 
, pentru orice ,0x f   este descrescătoare pe ,0 ,  0f x  , pentru
orice 0,x f   este crescătoare pe 0,  și, cum 0 4f   , obținem  4f x   ,
pentru oricex 
2p  4f x  
, deci1x
e x    , de unde 1 1x
e x  , pentru orice număr realx 2p
2.a) 
3 3 32 2
1 1 1
34 4 4
2 1
x x
f x dx dx xdx
x x x
  
            
  
3p9 1 4
2 2
  
2p
b)   
6 6 2
2
2 2
62 2 ln 4
4 2
x
dx dx x
f x x
   

 
3pln 40 ln 8 ln 5  
2p
c)  2 2 2 2 2
1 1 1 1
'4 1
ln ln ln ln
2 2 2 2 4 41 1
e e e ee ex x x e x e
f x xdx x xdx xdx x dx
x
   
              
   
3p2 2
1 1
4
e e
a
 

, deci4a  2p