Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2020 – testul 4

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 4
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Test 4
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați termenul7b al progresiei geometrice  1n n
b  , știind că5 3b  și6 6b  .
5p 2. Se consideră funcția  2
: , 20f f x x   . Determinaţi numerele realea , știind că f a a .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia3
1
5 5
x
x
 .
5p 4. Determinaţi câte numere naturale impare, de două cifre distincte, au cifrele elemente ale mulțimii 1, 2,3, 4,5,6
.
5p 5. În reperul cartezianxOy se consideră punctele 1,0A  , 0,1B şi 1,0C . Determinaţi
coordonatele ortocentrului triunghiuluiABC .
5p 6. Calculaţicos 2x , știind cătg 3x  și0, 2
x
 
 
  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele1 1
0 0
A  
  
  ,0 0
1 1
B  
  
  și M x A xB  , undex este număr real.
5p a) Arătați că  det 1 0M  .
5p b) Demonstrați că       M x M y M y M x dacă și numai dacăx y .
5p c) Determinați perechile de numere întregi ,m n pentru care       2 2 2 2
1 1M m M n M n M m   .
2. Pe mulţimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă7x y x y xy   .
5p a) Arătați că  1 1 17 7 7 7
x y x y    , pentru orice numere realex șiy .
5p b) Determinați numerele realex , pentru care5x x  .
5p c) Dați exemplu de numere distincte, \a b  pentru care numărula b este natural.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia : 0,f   ,   2 1
ln x
f x x x

  .
5p a) Arătaţi că  2
2' xf x x
 , 0,x   .
5p b) Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcțieif în care tangenta la graficul funcţieif
este paralelă cu dreapta de ecuațiey x  .
5p c) Demonstrați că  0
2
f
  .
2. Se consideră funcţia : 0,f   ,  lnf x x .
5p a) Arătaţi că 
1
' 1
e
f x dx  .
5p b) Calculați 2
1
e f x dx
x .
5p c) Determinaţi numărul realp ,1p  , știind că  2
1
3ln
2 4
p p
x f x dx p  .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 4
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Test 4
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.2
6 5 7 736 3b b b b   3p7 12b 
2p
2.2 2
20 20 0a a a a      3p4a  
sau5a  2p
3.3
5 5 3 4 0x x x x x
      3p0x 
2p
4. Cifra unităților se poate alege în3 moduri 2p
Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte5 moduri, deci
sunt5 3 15  numere impare de două cifre distincte, cu cifrele elemente ale mulțimii 1, 2,3, 4,5,6 3p
5.AO BO CO  șiO AC , deciABC este dreptunghic înB 2p
Coordonatele ortocentrului triunghiuluiABC sunt0x  ,1y  3p
6.tg 3x  și0, 2 3
x x

 
   
  2p2 1
cos 2 cos 3 2
x

  
3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)    
1 1 1 1
1 det 1 1 1 1 1
1 1 1 1
M A B M
 
          
  3p1 1 0  
2p
b)   M x M y AA yAB xBA xyBB    ,   M y M x AA xAB yBA yxBB    2p
CumAB A șiBA B , obținem   yA xB xA yB x y A x y B x y         3p
c)  2 2
1 1m n n m n m      2p
Cumm șin sunt numere întregi, obținem   , 0, 1m n   sau   , 0,1m n  3p
2.a)1 1
7 7 7
x y xy x y      3p1 1 1 1 1 1
7 7
7 7 7 7 7 7
x y y x y
      
              
      
, pentru orice numere realex șiy 2p
b)2 2
1 1 1 36 1 6
7 5
7 7 7 49 7 7
x x x
   
            
   
sau1 6
7 7
x   3p1x  
sau5
7
x  2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 4
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
c) De exemplu,1
7
a  și3
7
b  2p1 1 1 2 4 1
7 7 1
7 7 7 7 7 7
a b a b
  
           
  
3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)   
2
2 2 11 x x
f x x x
 
    3p2 2
2 2 2 2x x x x
x x
   
 
, 0,x   2p
b) Tangenta la graficul funcțieif în punctul  ,a f a este paralelă cu dreapta de ecuație ' 1y x f a     3p2
2
2 1 2 0 2
a a a a
a
         
, care nu convine sau1a  , care convine 2p
c) ' 0f x  , pentru orice 0, 2x f  este strict descrescătoare pe 0, 2 2p 0 1 2 1
2 2
f f

 
     
 
și, cum 1 0f  , obținem0
2
f
   
  3p
2.a)   
1
' ln
1 1
e e e
f x dx f x x  
3pln ln1 1e  
2p
b) 2 3
2
1 1
1 ln
ln 3 1
e e ef x x
dx x dx
x x
   
3p1
3

2p
c)  2 2 2 2
1 1 1
1 1
ln ln ln
2 2 2 4 41
p p ppx x p p
x f x dx x x dx x dx p
x
        
3p2 2 2
1 3
ln ln
2 4 4 2 4
p p p
p p   
și, cum1p  , obținem2p  2p