Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2020 – testul 2

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Test 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice  1n n
a  , știind că2 2a  .
5p 2. Determinați numărul reala pentru care punctul 2
,A a a aparține graficului funcției:f  ,  4 4f x x 
.
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia2 5 7 1x x x    .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
acesta să fie divizibil cu10 .
5p 5. Determinaţi numărul realm , pentru care vectorii5u mi j  și3 3v i j  sunt coliniari.
5p 6. Arătaţi că   2 2
sin cos sin cos 2x x x x    , pentru orice număr realx .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele4 6
2 3
A  
  
  ,2
1 0
0 1
I  
  
  și  2M x I xA  , undex este număr real.
5p a) Arătați cădet 0A  .
5p b) Demonstrați că     M x M y M x y xy   , pentru orice numere realex șiy .
5p c) Determinați perechile de numere naturale ,m n pentru care     6M m M n M .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă2x y xy x y    .
5p a) Arătați că  1 1 1x y x y    , pentru orice numere realex șiy .
5p b) Determinați numerele realex pentru care5x x  .
5p c) Calculați1 2 3 2020n n n n , pentru orice număr natural nenuln .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia : 0,f   ,  lnf x x e x  .
5p a) Arătaţi că ' x e
f x x

 , 0,x   .
5p b) Demonstrați că graficul funcțieif nu admite în niciun punct o tangentă paralelă cu dreapta de
ecuațiey x .
5p c) Demonstraţi că ecuația0x e
e x  are exact o soluție în 0,  .
2. Se consideră funcţia:f  ,   2 x
f x x x e  .
5p a) Arătați că 3
0
18x
f x dx
e  .
5p b) Calculați 
1
0
f x dx .
5p c) Determinaţi numărul natural nenuln , știind că 
 1
1 3ln 2
2
n x
x e dx
f x
  .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Test 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.1 3 22a a a  2p1 2 3 23 3 2 6a a a a     
3p
2.  2 2 4 4 0f a a a a     3p2a 
2p
3. 22 5 7 1x x x    2p3 6x 
, deci2x  , care convine 3p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are90 de elemente, deci sunt90 de cazuri
posibile 2p
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt9 numere divizibile cu10 , deci sunt9
cazuri favorabile 2pnr. cazuri favorabile 9 1
nr. cazuri posibile 90 10
p   
1p
5.5
3 3
m  3p5m 
2p
6.   2 2 2 2 2 2
sin cos sin cos sin 2sin cos cos sin 2sin cos cosx x x x x x x x x x x x          2p 2 2
2 sin cos 2 1 2x x    
, pentru orice număr realx 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)   
4 6 4 3 2 6
2
det 3
A 
       

3p12 12 0   
2p
b)      2 2 2M x M y I xA I yA I xA yA xyAA       3p
CumAA A , obținem       2M x M y I x y xy A M x y xy       , pentru orice
numere realex șiy 2p
c)   6 6M m n mn M m n mn       2p  1 1 7m n  
și, cumm șin sunt numere naturale, obținem perechile 6,0 sau 0,6 3p
2.a)1 1x y xy x y      2p      1 1 1 1 1 1x y y x y        
, pentru orice numere realex șiy 3p
b) 2
1 1x x x   , de unde obținem 2
1 4x   2p 1,3x  
3p
c)1 1x  , undex este număr real 2p 1 2 3 2020 1 2 3 2020 1n n n n n n n
 
, pentru orice număr natural nenuln 3p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)   '' lnf x x e x    3p1
1 x e
e x x

   
, 0,x   2p
b) Tangenta la graficul funcțieif în punctul  ,a f a este paralelă cu dreapta de ecuație ' 1y x f a   3p1 0
a e a e a e
a
      
, ceea ce este imposibil, deci graficul funcțieif nu admite în
niciun punct o tangentă paralelă cu dreapta de ecuațiey x
2p
c)  0f x  , pentru orice 0,x e f  este strict descrescătoare pe 0,e și ' 0f x  ,
pentru orice ,x e f   este strict crescătoare pe ,e  2p 0 0x e
e x f x   
și, cum  0f e  , ecuația0x e
e x  are exact o soluție în 0,  3p
2.a)   
3 3 3 2
0 0
3
2 3 0
x
f x x
dx x x dx x
e
 
      
 
 
3p9 9 0 18   
2p
b)       
1 1 1
2 2
0 0 0
1
2 2 2 2
0
x x x
f x dx x x e dx x x e x e dx        
2p  1
0
1
3 2 2 2 3 4 2 2 2
0
x x
e x e e dx e e e e         
3p
c) 
    2
2
2
1 1
1 1 1 1 2
ln 2 ln
2 2 32 1
n nx nx e x n n
dx dx x x
f x x x
  
   

 
3p2 21 2 3ln 2
ln 2 24 0
2 3 2
n n n n
     
și, cumn este număr natural nenul, obținem4n  2p