Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2020 – testul 18

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 18
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Test 18
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că diferența numerelor5 2 3 și 2
1 3 este număr întreg.
5p 2. Se consideră funcțiile:f  ,  2 1f x x  și:g  ,  2
2 2g x x x  . Determinați
numerele realem , pentru care   f m g m .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia2 5 1 2 5x x x    .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număra din mulțimea 2, 1, 1, 2,3A    , acesta să verifice
inegalitatea1 2a   .
5p 5. Se considerăA ,B ,C șiD patru puncte coplanare,M mijlocul segmentuluiAD șiN mijlocul
segmentuluiBC . Arătați că2MN AB DC  .
5p 6. TriunghiulABC este înscris într-un cerc de rază1 . Arătați că4sin sinA B AC BC   .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea  1 1
, 2
a a
A a b b b
  
    , undea șib sunt numere reale.
5p a) Arătați că  det 2,3 0A  .
5p b) Demonstrați că, dacăa  și\b  , atunci matricea ,A a b este inversabilă.
5p c) Determinați matricea 2X  pentru care   1, 2 0,0A X A   .
2. Pe mulțimea numerelor întregi se definește legea de compoziție asociativă5x y xy x y   .
5p a) Arătați că1 4 25 .
5p b) Demonstrați că0e  este elementul neutru al legii de compoziție „ ”.
5p c) Determinați elementele simetrizabile în raport cu legea de compoziție „ ”.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia:f  ,  3
2 1
x
f x x
  .
5p a) Arătaţi că   
 
2 2
22
3
'
1
x x
f x
x


 ,x  .
5p b) Se consideră dreaptad , asimptota spre la graficul luif . Determinați abscisele punctelor
situate pe graficul funcțieif , în care tangenta la grafic este paralelă cu dreaptad .
5p c) Demonstrați că funcțiaf este convexă pe0, 3 
  .
2. Se consideră funcţia:f  ,  cosx
f x e x .
5p a) Arătați că 
0
0x
f x dx
e

 .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 18
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
5p b) Calculați 
2
0
f x dx

 .
5p c) Arătați că 
3
2
0
2 ln 2
f x
dx e
f x
 
 
   


 .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 18
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Test 18
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.   
2
5 2 3 1 3 5 2 3 4 2 3        3p5 2 3 4 2 3 1    
, care este număr întreg 2p
2.2 2 1
2 1 2 2 2
m m m m     3p1
2
m  
sau1
2
m  2p
3.2 2
5 1 2 5 3 4 0x x x x x        3p4x  
, care nu convine, sau1x  , care convine 2p
4. MulțimeaA are 5 elemente, deci sunt 5 cazuri posibile 2p
Numerelea din mulțimeaA care verifică inegalitatea1 2a   sunt1 ,2 și3 , deci sunt3
cazuri favorabile 2pnr. cazuri favorabile 3
nr. cazuri posibile 5
p  
1p
5.0MA MD  ,0BN CN  2pMN MA AB BN  
,MN MD DC CN   , deci2MN AB DC  3p
6.2
sin sin
BC AC R
A B
  și, cum1R  , obținem2sinBC A și2sinAC B 3p4sin sin 2sin 2sinA B B A AC BC    
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)    
3 1 3 1
2,3 det 2,3
3 1 3 1
A A
 
    
 
2p3 3 0  
3p
b)         
1 1
det , 1 2 1 2 1
2
a a
A a b a b b a b a
b b
 
        
 , pentru orice numere realea
șib
3pa 
și  \ 1 \ det , 0b b a A a b       , deci ,A a b este inversabilă 2p
c)  0 2
1, 2 2 2 2
A  
     
,  det 1, 2 2 2A   ,   1
1 2 2
2 21, 2 1 0
2
A 
 
 
    
 
  3p    
1
1, 2 0,0X A A

  
și, cum  1 1
0,0 0 2
A  
  
  , obținem1 2 1 2
2 2
1 1
2 2
X
  
 
   
 
  2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 18
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
2.a)1 4 5 1 4 1 4      2p20 5 25  
3p
b)0 5 0 0x x x x     , pentru orice număr întregx 2p0 5 0 0x x x x     
, pentru orice număr întregx , deci0e  este elementul neutru al
legii de compoziție „ ” 3p
c)x  element simetrizabil în raport cu legea de compoziție „ ” există'x  astfel încât' ' 0 5 ' ' 0x x x x xx x x     
, deci' 5 1
x
x x

  și, cum, 'x x  , obținem5 1 1x   
sau5 1 1x  
3p2
5
x  
, care nu convine, sau0x  , care convine 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)   
 
2 2 3
22
3 1 2
'
1
x x x x
f x
x
  
 

3p 
 
 
2 24 2
2 22 2
33
1 1
x xx x
x x

 
 
,x  2p
b)  3
3
lim lim 1
x x
f x x
x x x 
 
 , deci panta drepteid este1 2p
Tangenta la graficul luif în  ,A a f a are panta1 , dacă   
 
2 2
22
3
' 1 1
1
a a
f a
a

  
 , de
unde obținem2 1a  , deci1a   sau1a 
3p
c)   
 
2
32
2 3
''
1
x x
f x
x



,x  2p
Cum " 0f x  , pentru orice0, 3x     , obținem că funcțiaf este convexă pe0, 3 
  3p
2.a) 
0 0 0
cos cos
x
x x
f x e x
dx dx xdx
e e



    
2psin sin sin 0 0
0
x
    
3p
b) 
2 2 2 2
0 0 0 0
2 2cos cos cos ' 1 sin 1 sin cos
0 0
x x x x x x
e xdx e x e x dx e x dx e x e xdx






            
3p2
2
0
1 cosx
e e xdx


    
, deci2 2
0
1
cos 2
x e
e xdx



 2p
c)   
2
3 3 3
2 2
0 0 0
cos sin2 2 ln cos 3
coscos 0
x
x
f x e x x
dx dx e dx e x
f x xe x
   
             









3p 2 2 2 2 21
ln cos ln cos0 ln ln1 ln 2
3 2
e e e e e
 
      
 






2p