Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2020 – testul 17

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 17
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Test 17
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Se consideră progresia aritmetică  1n n
a  cu1 1 3 3a   și rația3r  . Arătați că partea
fracționară a lui5a este egală cu3 1 .
5p 2. Se consideră:f  ,  2 1f x x  . Arătați că numărul         2 1 0 1 2f f f f f     
este natural.
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația   3 3log 5 1 2log 1x x   .
5p 4. Determinați numărul de mulțimiX cu proprietatea   1,2,3 1,2,3,4,5X  .
5p 5. Se consideră vectorii3u ai j  și2v i bj  , undea șib sunt numere reale. Determinați
numerele realea șib , știind că2 3 0u v  .
5p 6. Se consideră triunghiulABC , dreptunghic isoscel, cu ipotenuza8 2BC  . Arătați că raza cercului
înscris înABC este egală cu 4 2 2 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele2
1 0
0 1
I   
 
  și  2 3
1 a
A a a a

 
  
  , undea este număr real.
5p a) Arătați că  det 0A a  , pentru orice număr reala .
5p b) Determinați numerele realex pentru care  2det 2 0A xI  .
5p c) Arătați că, dacă       A a A b A b A a   , atuncia b .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție2 23
x y x y   .
5p a) Arătați că0 8 4  .
5p b) Demonstrați că legea de compoziție „ ” nu are element neutru.
5p c) Demonstrați că există o infinitate de perechi ,m n de numere naturale nenule pentru care numărulm n
este natural nenul.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia : 1,f    ,  1f x x x   .
5p a) Arătaţi că  2 1 1
' 2 1
x
f x x
 
  , 1,x    .
5p b) Determinați intervalele de monotonie ale funcțieif .
5p c) Demonstrați căln ln 1 1 2x x    , pentru orice ,x e  .
2. Se consideră funcţia:f  ,   2 4 5x
f x e x x   .
5p a) Arătaţi că 1
0
10
3x
f x dx
e  .
5p b) Demonstrați că orice primitivă a funcțieif este convexă.
5p c) Determinați numerele realea ,b șic astfel încât funcția:F  ,   2x
F x e ax bx c  
este o primitivă a funcțieif .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 17
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Test 17
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.5 1 4 1 3 3 4 3 1 3a a r       2p
Cum1 3 2 2 1 3 3      , obținem că   5 5 5 1 3 2 3 1a a a       3p
2.   2 2 5f f   ,   1 1 2f f   , 0 1f  3p          2 2
2 1 0 1 2 5 2 1 10f f f f f          
2p
3.   2 2 2
3 3log 5 1 log 1 5 1 2 1 3 2 0x x x x x x x            3p1x 
sau2x  , care convin 2p
4. 1, 2,3 1, 2,3X X   2p   1, 2,3, 4,5 1, 2,3X X  
, 1, 2,3, 4X  , 1, 2,3,5X  sau 1, 2,3, 4,5X  , deci
există 4 mulțimiX astfel încât   1,2,3 1,2,3,4,5X  3p
5.       2 3 2 3 3 2 2 6 6 3u v ai j i bj a i b j         2p   2 6 6 3 0a i b j   
, deci3a   și2b   3p
6.ABC este dreptunghic isoscel, cu ipotenuza8 2BC  , deci8AB AC  2p   32 4 2 2
4 2 2
S
r p
   

3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)   3 2
2 3
1 1det a
a a a a
a
A a     
3p3 3 0a a  
, pentru orice număr reala 2p
b)     2
2 2
1 2
2 2 9
4 8 det
x
A xI A xI x x
x
   

   

 
  , deci2 9 0x x  3p9x  
sau0x  2p
c)       
2 3 2 3
2 3 2 3 2 3 2 2 3 3 2 3 2 2 3 3
,
1 1 1 1a b ab b ab ba a ba
A a A b A b A a
a a b b a a b a b a b b b a b a b a
   
   
  
                 
      
,
pentru orice numere realea șib
3p2 3 2 3
2 3 2 2 3 3 2 3 2 2 3 3
1 1ab b ab ba a ba
a a b a b a b b b a b a b a
   

 
   
   
  
   
 
, de unde obținema b 2p
2.a)3 2 2
0 8 0 8    3p3 64 4 
2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 17
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
b) Dacăe este elementul neutru al legii de compoziție „ ”, atuncie x x  , pentru orice număr
realx , deci3 2
0 0 0e e    și obținem0e  3p
Cum0 8 4 8   ,0e  nu este element neutru al legii de compoziție „ ”, deci legea de
compoziție „ ” nu are element neutru 2p
c) De exemplu, pentru3
2m k și3
2n k , unde   
2 23* 2 2 3 33 2 2k m n m n k k        3p3 6 2 *
8 2k k  
, deci există o infinitate de perechi ,m n de numere naturale nenule
pentru care numărulm n este natural nenul 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)   '' ' 1f x x x    2p1 2 1 1
1 2 1 2 1
x
x x
 
  
 
, 1,x    3p
b)  1 3
' 0 2 1 1 1 4 4
f x x x x          2p
Pentru3
1, 4
x  
   
  , ' 0f x  , decif este descrescătoare pe3
1, 4
 
  
  și, pentru3,
4
x  
  
  , ' 0f x 
, decif este crescătoare pe3,
4
 
 
 
3p
c)ln 1x  , pentru orice ,x e  șif este crescătoare pe 1,  2p   ln 1 ln ln 1 1 2 ln ln 1 1 2f x f x x x x          
, pentru orice ,x e  3p
2.a)     
21 1 1 3 2
2
0 0 0
14 5 4
4 5 5
3 2 0
x
x x
e x xf x x x
dx dx x x dx x
e e
   
         
 
  
3p1 10
2 5
3 3
   
2p
b)   'F x f x și         22 2'' 4 5 2 4 2 1 1x x x x
F x e x x e x e x x e x          ,x  3p 2
1 0x
e x  
, pentru orice număr realx , deci, pentru orice primitivăF a luif , obținem " 0F x 
, pentru orice număr realx , deciF este convexă 2p
c)        2 2' 2 2x x x
F x e ax bx c e ax b e ax b a x c b          , pentru oricex  3p 2 2
2 4 5ax b a x c b x x      
, pentru oricex  , de unde obținem1a  ,6b   și11c  2p