Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2020 – testul 16

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 16
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Test 16
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați partea întreagă a numărului2 3 5 .
5p 2. Se consideră funcțiile:f  ,  2 4 5f x x x   ,:g  ,  2g x x  și:h  ,  2h x x 
. Arătați că     f g x f h x , pentru orice număr realx .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia3 3 2 3x x    .
5p 4. Se consideră mulțimea 1,2,3, ,30A  . Determinați numărul de elemente ale mulțimiiA care sunt
divizibile cu2 sau cu3 .
5p 5. Se consideră triunghiulABC , punctulG , centrul său de greutate și puncteleM șiN astfel încât1
4
BM BA
și2
5
CN CA . Arătați că puncteleM ,N șiG sunt coliniare.
5p 6. Arătaţi că, dacă triunghiulABC este înscris într-un cerc de rază1
2 , atunci2 2
cos 1A BC  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea  2 0
2
A a a
 
  
  , undea este număr real.
5p a) Arătați că  det 4A a  , pentru orice număr reala .
5p b) Arătați că     2A a A b A a b   , pentru orice numere realea șib .
5p c) Determinați numărul realx și numărul naturaln pentru care       1 2 5 2n
A A A A x    .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție7x y x y   .
5p a) Arătați că5 2 0 .
5p b) Se consideră funcția : 0,f   ,  77 logf x x  . Arătați că     f x f y f xy , pentru
orice , 0,x y   .
5p c) Demonstrați că2 2 0a b  , pentru orice numere întregia șib .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia:f  ,   2 5x
f x e x  .
5p a) Arătaţi că   2
' 2 9x
f x e x  ,x  .
5p b) Calculați 
 
'
lim
x
f x
f x .
5p c) Arătaţi că 
9
2
2 5
x e
e x
  , pentru orice ,5x   .
2. Se consideră funcţia:f  ,  2 1
x
f x
x

 .
5p a) Arătaţi că 
2 2
0
1 2f x x dx  .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 16
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
5p b) Arătați că 
2
1
1 2 5
5 2 ln 1 2
f x f dx
x
   
        
 .
5p c) Determinați 1,a   astfel încât     2
0
ln 1 ln 1
x t x x
f e dt e e a     , pentru orice număr realx .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 16
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Test 16
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.2 3 5 2 3 5 2 45               2p36 45 49 6 3 5 7    
, deci partea întreagă a numărului2 3 5 este egală cu 8 3p
2.             22 2
4 5 2 4 2 5 1f g x f g x g x g x x x x           , pentru orice
număr realx 3p             22 2
4 5 2 4 2 5 1f h x f h x h x h x x x x          
, pentru orice
număr realx , deci     f g x f h x , pentru orice număr realx 2p
3.   2
3 2 3 3 3 12 3 3 3 9 9x x x x x x x               3p0x 
, care convine 2p
4. În mulțimeaA sunt 15 numere divizibile cu2 și 10 numere divizibile cu 3 2p
Cum în mulțimeaA sunt 5 numere care sunt divizibile și cu 2 și cu 3, obținem că în
mulțimeaA sunt15 10 5 20   de numere care sunt divizibile cu2 sau cu3 3p
5.   3 2 3 2 1 1 5 4
4 3 4 3 2 12
MG MA AG BA AD AB AB AC AB AC            , undeD este
mijlocul segmentuluiBC
3p   2 3 1 3 1 12
5 4
3 5 3 5 15 15
GN GA AN AD AC AB AC AC AB AC MG            
, deciMG
șiGN sunt coliniari, de unde obținem că puncteleM ,N șiG sunt coliniare
2p
6.2
sin
BC R
A  și, cum1
2
R  , obținemsinBC A 3p2 2 2
cos 1 sin 1A A BC   
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)   2 0
det 2 2 0
2
A a a
a
      3p4 0 4  
, pentru orice număr reala 2p
b)    2 0 2 0 4 0
2 2 2 2 4
A a A b a b a b
    
       
     3p 
2 0
2 2
2 A a b
a b
 
    
, pentru orice numere realea șib 2p
c)               4 4
1 2 5 2 1 2 3 5 2 1 2 3 4 5 2 15A A A A A A A A              3p4 2 0 2 0
2 2 4
15 2 2
n n
x
   
     
   
și15x  2p
2.a)5 2 5 2 7    3p7 7 0  
2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 16
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
b)        7 77 7 log 7 log 7f x f y f x f y x y         3p   7 7 77 log log 7 logx y xy f xy     
, pentru orice , 0,x y   2p
c)2 2 2 2
0 7a b a b    1p
Pentru,a b  cu3a  sau3b  , obținem2 2 9a b  , deci2 2 0a b  2p
Pentru,a b  cu2a  și2b  , obținem 2 2 2 2
0,1, 2, 4,5,8 7a b a b     , deci2 2 0a b 
, pentru orice numere întregia șib
2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)   2 2
' 2 5 1x x
f x e x e       3p   2 2
2 10 1 2 9x x
e x e x    
,x  2p
b) 
 
 
 
2
2
' 2 9 2 9
lim lim lim 55
x
xx x x
f x e x x
f x xe x  
 
  

3p9
2
lim 2
5
1
x
x x
x x

 
 
  
 
 
 
2p
c) 9
, ' 0
2
x f x       , decif descrescătoare pe9
, 2
    și 9 , ' 0
2
x f x      ,
decif crescătoare pe9 ,
2
    ; obținem  9
9
2 2
e
f x f     
  , pentru orice număr realx
3p
Cum  9
2 5 2
x e
e x    și5 0x   , pentru orice   
9
2
,5 2 5
x e
x e x
     , pentru orice ,5x   2p
2.a) 
2 2 2
2 2
2
0 0 0
1 1
1
x
f x x dx x dx x dx
x
     

  
2p2 2 4 0 2
2 20
x
   
3p
b) 
2 2 2
2 2 2
1 1 1
2
1
1 1
11 1 11
x xxf x f dx dx dx
x x x x
x
 
                         
 
  
3p 2 2
2 2 2 5
1 ln 1 5 2 ln 1 21 1
x x x 
        
2p
c)         2 2
2
0 0
1 ' ln 1 ln 1 ln 1 2
01
x x
t t t t x x
t
x
f e dt e dt e e e e
e
         

 
, pentru orice
număr realx
3p       2 2
ln 1 ln 1 2 ln 1 ln 1x x x x
e e e e a        
, pentru orice număr realx ,
deci    1
ln 1 2 ln 1 1 2 1
a a        , de unde obținem2a  , care convine
2p