Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2020 – testul 15

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 15
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Test 15
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că   2
2 3 5 12i i i   , unde2 1i   .
5p 2. Se consideră funcția:f  , f x x a  . Determinați numărul reala , astfel încât    1f f x f x 
, pentru orice număr realx .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia1
5 2 3 12 5x x x
    .
5p 4. Determinați numărul funcțiilor   : 1,2,3 1,2,3,4f  , care au proprietatea 1 3f  .
5p 5. În reperul cartezianxOy , se consideră rombulABCD cu 1,3A  și 2,4C  . Determinați panta
drepteiBD .
5p 6. Determinați0, 2
x
 
 
  , astfel încâtcos2 cos sin 2 sin
6 6
x x x x

   
     
    .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea  2 0
0 3
x
x
A x  
  
 
  , undex este număr real.
5p a) Arătați că  det 6x
A x  , pentru orice număr realx .
5p b) Determinați numărul realx , știind că   
1 1 1 1
0 1 0 1
A x A x
   
     
    .
5p c) Demonstrați că, orice matrice 2X  cu proprietatea că 1X X A  are două elemente
numere iraționale.
2. Pe mulţimea numerelor reale se definește legea de compoziție2 2
x y x xy y   .
5p a) Arătați că0x x  , pentru orice număr realx .
5p b) Se consideră numerele realea șib cua b . Determinați numărul realx pentru carex a x b .
5p c) Determinați numărul realx cu proprietatea că  3
1x x x   .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia : 1,f    ,     2 1 ln 1f x x x x    .
5p a) Arătaţi că   ' 1 ln 1f x x   , 1,x    .
5p b) Determinați intervalele de monotonie ale funcţieif .
5p c) Demonstrați că funcţiaf este concavă.
2. Se consideră funcţia:f  ,  x
f x x e  .
5p a) Arătaţi că 
1
0
3
2
f x dx e  .
5p b) Calculați 
1
0
xf x dx .
5p c) Pentru fiecare număr natural nenuln , se consideră numărul  
1
0
n
nI x x f x dx  . Demonstrați
că1n nI nI e  , pentru orice număr naturaln ,2n  .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 15
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Test 15
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 2
2 3 4 12 9 4 9 12 5 12i i i i i           3p 2
5 12 5 12i i i i   
2p
2.   2f f x x a a x a     , 1 1f x x a    , pentru orice număr realx 3p2 1 1x a x a a     
2p
3.5 2 2 3 12 5 10 6 12 5x x x x x
         3p6 6
5 5
x
   
 
, deci1x  2p
4. 1f poate fi aleasă în două moduri, iar 2f și 3f pot fi alese în câte patru moduri 3p
Există2
4 2 32  de funcții   : 1,2,3 1,2,3,4f  astfel încât 1 3f  2p
5.1ACm   2p
CumBD AC , obținem1BDm  3p
6.cos 2 cos sin 2 sin cos 2 cos sin 2 sin cos
6 6 6 6 6
x x x x x x x x x




         
                 
          2pcos 0
6
x
 
  
 
și, cum0, 2
x
 
 
  , obținem6 2
x
 
  , deci3
x

 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)   2 0
det 2 3 0 0
0 3
x x x
x
A x      
3p 2 3 6
x x
  
, pentru orice număr realx 2p
b)  1 1 2 2
0 1 0 3
x x
x
A x            
, 
1 1 2 3
0 1 0 3
x x
x
A x             3p2 2 2 3 2 3
0 3 0 3
x x x x x x
x x
   
     
   
   
, de unde obținem0x  2p
c) 1X X X A X    și     1 1 1X X X X A A X X A        , deci, pentrua b
X c d
 
  
  ,
undea ,b ,c șid sunt numere reale, obținem2 2 2 3 0
3 3 2 3
a b a b b
c d c d
   
     
    și0c 
3p 
2
2
0 2 0 2, 2
0 30
a a
d
   
          
și 3, 3d   , deci orice matriceX , pentru care 1X X A 
, are două elemente numere iraționale
2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 15
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
2.a)2 2
x x x x x x     3p2
3 0x 
, pentru orice număr realx 2p
b)      2 2 2 2 2 2 0 0x xa a x xb b x a b a b a b x a b               3p
Cuma b , obținemx a b   2p
c)   22 3 3 2
1 1 3 3 1 0x x x x x x x x           3p 3
1 0x  
, de unde obținem1x   2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)      1' 2 ln 1 1 1
f x x x x
      
 3p   2 ln 1 1 1 ln 1x x      
, 1,x    2p
b) ' 0 1f x x e    2p
Pentru orice 1, 1x e   , ' 0f x  , decif este crescătoare pe 1, 1e  și pentru orice 1,x e  
, ' 0f x  , decif este descrescătoare pe 1,e   3p
c)  1'' 1
f x x
   , 1,x    2p
Cum, pentru orice 1,x    avem1 0
1x
 
 , obținem '' 0f x  , decif este concavă 3p
2.a)   
1 1 2
0 0
1
2 0
x xx
f x dx x e dx e
 
      
 
 
3p1 3
1
2 2
e e    
2p
b)       
1 1 1 3
2
0 0 0
1 1
1
3 0 0
x x xx
x f x dx x x e dx x xe dx x e         
3p1 2
1
3 3
   
2p
c)  
1 1 1 1
0 0 0
1
0
n n x n x n x
nI x x f x dx x e dx x e n x e dx
       
3p1ne nI  
, de unde obținem1n nI nI e  , pentru orice număr naturaln ,2n  2p