Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2020 – testul 14

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 14
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Test 14
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că numerele11 5 ,6 și11 5 sunt termeni consecutivi ai unei progresii
geometrice.
5p 2. Se consideră funcția : 1,1f   ,  1
ln 1
x
f x x

  . Demonstrați că funcțiaf este impară.
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia3
4 2 4
x x
  .
5p 4. Determinați numărul de submulțimi ordonate cu3 elemente ale mulțimii 1,3,5,7 .
5p 5. În reperul cartezianxOy se consideră punctele 1, 2A   , 0,3B și 1,2C  . Determinați
ecuația drepteiAD , știind căABCD este paralelogram.
5p 6. TriunghiulABC are10AB  și5AC  . Arătați căsin 2sinC B .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea 
1 2 1
2 3 0
2 4
A a
a
 
 
 
 




  și sistemul de ecuații2 1
2 3 1
2 4 2
x y z
x y
x y az
   
   
     , undea
este număr real.
5p a) Arătați că  det 2aA a  , pentru orice număr reala .
5p b) Pentru0a  , determinați inversa matricei A a .
5p c) Pentru2a   , rezolvați sistemul de ecuații.
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă  5 2 2 2x y x y     .
5p a) Arătați că 2 2x     , pentru orice număr realx .
5p b) Se consideră funcția:f  ,  10
5
x
e
f x 
 . Demonstrați că     f x y f x f y   ,
pentru orice numere realex șiy .
5p c) Determinați numărul realx , astfel încât23x x x   .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia:f  ,  2 4 5 2f x x x x     .
5p a) Arătați că  2
2
' 1
4 5
x
f x
x x

 
  ,x  .
5p b) Demonstrați că axaOx este asimptotă orizontală spre la graficul funcţieif .
5p c) Demonstrați că imaginea funcțieif este intervalul 0,  .
2. Se consideră funcțiile     
3
2
1
: 0, , 1
x x
f f x x x
 
    și     
2 1
: 0, , ln 1
x
F F x x
x

     .
5p a) Arătați că funcțiaF este o primitivă a funcțieif .
5p b) Calculați   
2
1
1x f x dx .
5p c) Determinați numărul reala ,1a  , astfel încât 
1
1 1
ln
2 2
a a
f x dx 
  .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 14
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Test 14
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.  11 5 11 5 11 5     2p 2
6 6 
, deci numerele date sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice 3p
2.   
 
1
1 1 1
ln ln ln
1 1 1
x x x
f x x x x

    
     
    
3p 
1
ln 1
x f x
x

   

, pentru orice 1,1x   , deci funcțiaf este impară 2p
3.  2
4 2 4 2 3 0 2 2 1 2 2 3 0x x x x
           3p
Cum2 0x  , pentru orice număr real, obținem1
2 2
x  , deci1x   2p
4. Numărul de submulțimi ordonate cu3 elemente ale mulțimii 1,3,5,7 este3
4A  3p 
4! 4! 24
4 3 !
  

2p
5.1BCm  și, cumAD BC , obținem1ADm  3p
Ecuația drepteiAD este2 1y x   , deci1y x  2p
6.sin sin
AB AC
C B
 , decisin 1
sin 2
B AC
C AB
  3psin 2sinC B
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)  
1 2 1
det 2 3 0 3 8 0 6 0 4
2 4
A a a a
a

          
2p3 4 8 6 2a a a      
pentru orice număr reala 3p
b)  det 0 2 0A   2p 1
3
0 2 2
0 0 1 1
1
1 0 2
A
 
  
 
  
 
 
 
3p
c) Pentru2a   , obținem  det 0A a  , deci sistemul este Cramer 2p
Soluția sistemului de ecuații este 1, 1,0 3p
2.a)    2 5 2 2 2 2x x        3p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 14
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 20 2 2   
, pentru orice număr realx 2p
b)          10 10
5 2 2 2 5 2 2 2
5 5
x y
e e
f x f y f x f y    
             
  
3p 
10
5 2
5 5 5
x y x y
e e e f x y
 
      
, pentru orice numere realex șiy 2p
c) 2
5 2 2x x x    , 3
25 2 2x x x x     2p   3 3
25 2 2 23 2 1x x     
, deci1x   3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)  2
2 4
' 1
2 4 5
x
f x
x x

  
  3p 
2 2
2 2 2
1 1
2 4 5 4 5
x x
x x x x
 
   
   
,x  2p
b)    2 2
2
2
4 5 4 4
lim lim 4 5 2 lim
4 5 2x x x
x x x x
f x x x x
x x x  
    
      
   
2p2
1
lim 0
4 5 2x x x x
 
   
, deci dreapta de ecuație0y  , adică axaOx , este asimptotă
orizontală spre la graficul funcţieif
3p
c)  2 2 2
' 0 2 4 5 4 4 4 5 4 5f x x x x x x x x              , fals, deci ' 0f x  ,
pentru orice număr realx 2p'f
are proprietatea lui Darboux, deci'f are semn constant și, cum  2
' 0 1 0
5
f    ,
obținem că ' 0f x  , pentru orice număr realx , decif este descrescătoare și, cum lim
x
f x

 
, lim 0
x
f x

 șif este continuă, obținem Im 0,f  
3p
2.a)    
 
2 22
2 2
1 12 1 1
' 1 1
x x xx x x
F x xx x x
    
   
 
3p   
3
2
1
1
x x f x
x x
 
 

, 0,x   , deci funcțiaF este o primitivă a funcțieif 2p
b)   
2 2 23 2
2 2
1 1 1
21 1 1 1
1 ln
2 1
x x x
x f x dx dx x dx x
x xx x
    
               
  
3p1 1
2 ln 2 ln1 1 1 ln 2
2 2
 
        
 
2p
c)         
2 2
1
1 1 1
1 ln 1 2 ln 2 ln 2
21
a a a a a
f x dx F x F a F a
a a
  
          
3p2 1 1 1 1
ln 2 ln
2 2 2
a a a
a
  
   
, deci2 1 5
2
a
a
  și, cum1a  , obținem2a  2p