Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2020 – testul 13

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 13
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Test 13
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că modulul numărului complex1 2
1 2
i
z i

  este egal cu1 .
5p 2. Arătați că funcția:f  ,     2 1 2 1
x x
f x     este pară.
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia2x x  .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
acesta să aibă ambele cifre divizibile cu3 .
5p 5. În triunghiul isoscelABC cuAB AC , ecuația mediatoarei laturiiAC este3 1y x  și ecuația
perpendicularei dinA peBC este2 7y x  . Determinați coordonatele centrului cercului
circumscris triunghiuluiABC .
5p 6. Determinați0, 2
x
 
 
  , știind că   sin cos sin cos 1x x x x

     .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea  1 ln
0 1
a
A a  
  
  , unde 0,a   .
5p a) Arătați că  det 1A a  , pentru orice 0,a   .
5p b) Demonstrați că     A a A b A ab  , pentru orice , 0,a b   .
5p c) Determinați 0,a   , astfel încât      1 2020
0 1
A a A a A a  
    
  .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă1
3
x y xy x y   .
5p a) Demonstrați că  
1 3 3 3
3
x y x y    , pentru orice numere realex șiy .
5p b) Se consideră funcția:f  ,  3 3f x x  . Arătați că     f xy f x f y , pentru orice
numere realex șiy .
5p c) Demonstrați că    1 2
1 2 1
3 3 3 3
3
n
n
n n
x x x
x x x 
     
 , pentru oricen ,2n  și orice
numere reale1 2 1, , , nx x x  șinx .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia : 1,f   ,  1
1
x
f x x

  .
5p a) Arătaţi că    2
1
'
1 1
f x
x x
 
  , 1,x   .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcțieif în punctul de abscisă0 2x  , situat pe graficul
funcțieif .
5p c) Determinați coordonatele punctului de intersecție a celor două asimptote ale graficului funcțieif .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 13
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcţia:f  ,  2
2 9
x
f x x
x
 
 .
5p a) Arătați că 
1
2
0
1
39
x
f x dx
x
 
   
 
 .
5p b) Calculați    
4
0
f x f x dx  .
5p c) Determinați numărul reala ,4a  , astfel încât  2
4
9
10 ln 9
a f x a a
dx
x
 
  .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 13
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 3
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Test 13
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 
2 2
22
1 2 1 2
1 2 1 2
i
z i
 
  
  
3p5 1
5
 
2p
2.      1 1
2 1 2 1 2 1 2 1
x x
x x
f x      
          
    
3p     2 1 2 1
x x
f x    
, pentru orice număr realx , deci funcțiaf este pară 2p
3.2 2
2 2 0x x x x      3p1x  
, care nu convine, sau2x  , care convine 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are90 de elemente, deci sunt90 de cazuri
posibile 2p
Numerele naturale de două cifre care au ambele cifre divizibile cu3 suntab cu 3,6,9a 
și 0,3,6,9b  , deci sunt12 cazuri favorabile 2pnr. cazuri favorabile 12 2
nr. cazuri posibile 90 15
p   
1p
5. Perpendiculara dinA peBC este și mediatoarea luiBC , deci coordonatele centrului cercului
circumscris triunghiuluiABC sunt soluțiile sistemului3 1
2 7
y x
y x
 
   3p1x 
,4y  2p
6. cos cosx x
    , sin sinx x
   2psin cos sin cos 1 2sin cos 1 sin 2 1x x x x x x x       
și, cum0, 2
x
 
 
  , obținem4
x

 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)  1 ln 1 1 0 ln
0 1
a
A a a
 
      
 
2p1 0 1  
, pentru orice 0,a   3p
b)    1 ln ln
0 1
a b
A a A b  
   
  3p   
1 ln
0 1
ab A ab
 
  
 
, pentru orice , 0,a b   2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 13
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 3
c)        3
3 1 ln
0 1
a
A a A a A a A a  
      
  , pentru orice 0,a   2p3 33 20201 2020 20201 ln ln 2020 ln
0 1 30 1
a a a a e
   
             
, care convine 3p
2.a)   
1 1
3 3 3 3 3
3 3
x y xy x y x y y           2p    
1 1
3 1 3 3 3 3
3 3
y x x y
 
        
 
, pentru orice numere realex șiy 3p
b)            
1 1
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 3
f x f y f x f y x y           2p 3 3xy f xy  
, pentru orice numere realex șiy 3p
c)3 3
3 3
3 3
x x
f x
       
  , pentru oricex  , deci3
3
k
k
x
x f  
  
  , pentru oricek  ,1k  2p    1 21 2
1 2
3 3 333 3
3 3 3 3
nn
n n
x x xxx x
x x x f f f f            
        
                1 2 1 2
1
3 3 3 3 3 3 3
3 3
3 3
n
n n
n n
x x x x x x

          
   
, pentru oricen ,2n 
și orice numere reale1 2 1, , , nx x x  șinx
3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)   
 2
1 11
' 1 12 1
x x
f x x x
x
  
  
 

3p   
2 2
1 1 2 1
2 1 1 1 1
x
x x x x
 
    
   
, 1,x   2p
b) 2 3f  ,  1
' 2 3
f   2p
Ecuația tangentei este    2 ' 2 2y f f x   , adică1 5
3 3
y x   3p
c) 
1 1
1
1
lim lim 1x x
x
x
f x x 


  
 , deci dreapta de ecuație1x  este asimptotă verticală la graficul
funcțieif
2p  1
lim lim 1
1x x
x
f x x 

 

, deci dreapta de ecuație1y  este asimptotă orizontală spre
la graficul funcțieif , de unde obținem că punctul de intersecție a celor două asimptote
este 1,1
3p
2.a) 
1 1 2
2
0 09
x
f x dx x dx
x
 
    
 
 
2p3 1 1
3 30
x
 
3p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 13
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 3 din 3
b)       
22
2 2 2
2
9 99
x x x
f x f x x x
x xx

       
   , pentru orice număr realx 2p      
4 4 2
2
0 0
42 2 9 2 5 3 4
09
x
f x f x dx dx x
x
       

 
3p
c)   
2 2 2
2
2
4 4
1 16 9
ln 9 ln
2 2 949
a a af x x a a a
dx x dx x x
x x
      
            
   
 
3p2 16 10
2
a  
și, cum4a  , obținem6a  2p