Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2020 – testul 12

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 12
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Test 12
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinaţi termenul2a al unei progresiei aritmetice  1n n
a  în care1 2 32 4a a a   .
5p 2. Se consideră funcția:f  ,  2 6f x x x   . Arătați că numărul  1
3 3
f f  
  
  este natural.
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația   5 5log 4 3 log 24x x    .
5p 4. Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi care are exact45 submulțimi cu două elemente.
5p 5. Se consideră vectorii3u ai j  șiv i j  . Determinați numărul reala , știind că vectoriiu v și3v
sunt coliniari.
5p 6. Un triunghi dreptunghic are catetele de lungime6 , respectiv8 . Determinați raza cercului înscris în
acest triunghi.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele2
1 0
0 1
I   
 
  și  5 10
2 4
a
A a a

   
 
 
  , undea este număr real.
5p a) Arătați că  det 00A  .
5p b) Determinați numărul reala , știind că     0A a A a A  .
5p c) Determinați matricea 2X  cu proprietatea   1 0A X A   .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție3 2 1x y x y    .
5p a) Arătați că5 8 0  .
5p b) Determinați numărul realx pentru care2020 2020 2x x
  .
5p c) Demonstrați că există o infinitate de perechi ,m n de numere întregi pentru care0m n  .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia:f  ,   2
ln 1f x x x   .
5p a) Arătaţi că  2
1
'
1
f x
x

 ,x  .
5p b) Demonstrați că, pentru orice număr real nenula , tangentele la graficul funcţieif în punctele  ,A a f a
și  ,B a f a  sunt paralele.
5p c) Calculați   lim lnx
f x f x
x
  .
2. Se consideră funcţia : 0,f   ,   2ln 2 1f x x x   .
5p a) Arătaţi că    
1
0
1
2ln 2 1 2
f x x dx   .
5p b) Calculați 
1
0
f x dx .
5p c) DacăF este o primitivă a funcțieif , arătați că  16
5
F F
  
  
  .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 12
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Test 12
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.1 3 22a a a  , deci1 2 3 22 4a a a a   3p2 1a 
2p
2.  2
3 3 3 6 18f     ,1 1 1 58
6
3 9 3 9
f       
  2p  1 58
3 18 116
3 9
f f  
    
 
, care este număr natural 3p
3.       2
5log 4 24 3 4 24 125 28 29 0x x x x x x           3p1x  
, care convine, sau29x  , care nu convine 2p
4. Mulțimea are 2 1
2
n
n n
C 
 submulțimi cu două elemente, unden este numărul de elemente
ale mulțimii,n  ,2n  , deci 1 45
2
n n   , de unde obținem2 90 0n n  
2p
Cumn este număr natural,2n  , obținem10n  2p
5. 1 4u v a i j    ,3 3 3v i j  2p
Vectoriiu v și3v sunt coliniari, deci1 4
3 3
a    , de unde obținem3a   3p
6. Triunghiul are ipotenuza egală cu10 și aria6 8 24
2
S 
  2p24 2
12
S
r p
  
3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)    
5 10 5 10
0 0
2 4 2 4
det AA     
 
 
   
2p   105 24 0   
3p
b)    2
2
5 10 10 20
2 4 4 8
a a a
A a A a
a a a
  
 

 
 

     
, pentru orice număr reala 3p2
2
5 10 10 20 5 10 0
2 42 4 4 8
a a a a
a a a
    
 
  
         
2p
c)    
6 10
1 det 1 2 0
2 3
A A
 
    

 
 
 
, deci 1A  este inversabilă și   1 3 5
1 2
1 3
A   
 
  




  3p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 12
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2    
1
1 0X A A

  
, de unde obținem5 5
2
1 2
X
 
 
   

  2p
2.a)5 8 3 5 2 8 1       3p15 16 1 0   
2p
b)3 2020 2 2020 1 2 2020 1x x x
       2p0x 
3p
c) De exemplu, pentru2 1m k  și3 1n k  , undek  , obținem   2 1 3 1m n k k      3p   3 2 1 2 3 1 1 6 3 6 2 1 0k k k k          
, deci există o infinitate de perechi ,m n
de numere întregi pentru care0m n  2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)  2 2
1
' 1
1 1
x
f x
x x x
 
     
   
3p2
2 2 2
1 1 1
1 1 1
x x
x x x x
 
  
   
,x  2p
b) Tangenta la graficul funcţieif în punctul  ,A a f a are panta  2
1
'
1
f a
a

 2p
Tangenta la graficul funcţieif în punctul  ,B a f a  are panta  2
1
'
1
f a
a
 
 și,
cum, pentru orice număr real nenula ,   ' 'f a f a  , obținem că tangentele la graficul
funcţieif în punctele  ,A a f a și  ,B a f a  sunt paralele
3p
c)           
2
22 2
2
1
ln 1 ln 1 ln 2ln 1 2
1
x x
f x f x x x x x x x f x
x x
  
               
   
,
pentru orice număr realx
3p       
  2
2 '
lim lim 2 lim 2 lim 2
'ln ln ln 1x x x x
f x f x f x f x x
x x x x   
     

2p
2.a)    
1 1
0 0
2ln 2 1 2ln 2 1x x x dx x dx      
2p2 1 1
2 20
x
 
3p
b)        
1 1 12
0 0 0
1 '2ln 2 1 2 1 ln 2 1
2 0
x
f x dx x x dx x x dx         
3p    1
0
11 1 3
2 1 ln 2 1 2 3ln 3 2 3ln 3
2 2 20
x x dx         
2p
c)   ' 0F x f x  , pentru orice 0,x   , deci funcțiaF este crescătoare pe 0,  3p
Cum16
3, 2 5
   , obținem  16
5
F F
  
  
  2p