Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2020 – testul 11

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 11
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Test 11
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că   3 3 3
2 2log 4 2 1 log 2 1     .
5p 2. Se consideră funcția:f  ,  2f x x a  , undea este număr real. Determinați numărul reala
, astfel încât    2020f x f x   , pentru orice număr realx .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia1
3 3 4x x
  .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să
fie cuprins între122 și170 .
5p 5. Se consideră paralelogramulABCD . Arătați că2 3AB BD DA CA   .
5p 6. Lungimile laturilor unui triunghi sunt egale cu2 ,3 şi4 . Arătaţi că triunghiul este obtuzunghic.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele3 13
1 4
A  
     și2
1 0
0 1
I  
  
  .
5p a) Arătați că 2det detA A I  .
5p b) Determinați numărul reala , știind că2A A A aI   .
5p c) Determinați perechile ,m n de numere naturale, cum n , pentru care   2 2det detA mI A nI   .
2. Pe mulțimea 0,1M  se definește legea de compoziție1 2
xy
x y x y xy
    .
5p a) Arătați că1
2
x x , pentru oricex M .
5p b) Demonstrați că legea de compoziție „ ” este comutativă.
5p c) Se consideră funcția   : 0, 0,1f   ,  1
x
f x x
  . Arătați că     f x f y f xy , pentru orice , 0,x y  
.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia:f  ,  x
x
e x
f x e

 .
5p a) Arătaţi că  1
' x
x
f x e

 ,x  .
5p b) Demonstrați că tangenta la graficul funcțieif în punctul  1, 1A f este paralelă cu asimptota spre
la graficul funcțieif .
5p c) Arătaţi că    1
' x
g x g x e
  , pentru orice număr realx , unde:g  ,   ''g x f x .
2. Se consideră funcţia:f  ,  2 2
2 1
4 1 1
x
f x x x x
  
  .
5p a) Arătaţi că   
1 2
0
1 3x f x dx  .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 11
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
5p b) Calculați 
1
0
f x dx .
5p c) Determinați numărul reala pentru care  2
2
1
2 1 ln
1
e x
f x x dx e a
x
 
   
 
 .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 11
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Test 11
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.       3 3 3 3 3 3
2 2 2log 4 2 1 log 2 1 0 log 4 2 1 2 1 0          3p
Cum    3
3 3 3 3
4 2 1 2 1 2 1 1      , obținem că   3 3 3
2log 4 2 1 2 1 0    2p
2.     2020 2 2 2020f x f x x a x a          3p2 2020a 
, deci1010a  2p
3.  23
3 4 3 4 3 3 0 3 1 3 3 0
3
x x x x x
x
           3p0x 
sau1x  2p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are90 de elemente, deci sunt90 de cazuri
posibile 2p
Numerele naturale cuprinse între122 și170 sunt12 și13 , deci sunt2 cazuri favorabile 2pnr. cazuri favorabile 2 1
nr. cazuri posibile 90 45
p   
1p
5. 2 3 2 0AB BD DA AB BD DA BD DA BD DA DA BA DA              3p AB AD AC CA     
2p
6. ConsiderămABC cu2AB  ,3AC  și2 2 2
2 3 4 1
4 cos 2 2 3 4
BC A  
    
  3pcos 0A 
, deci unghiulA este obtuz 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)   
3 13
det 3 4 13 1 1
1 4
A        
  2p     2
4 13
det 4 3 13 1 1
1 3
A I        
 
, deci 2det detA I A  3p
b)4 13
1 3
A A   
   
  ,2
1 0
0 1
A A A I
 
    
  3p2 2aI I
, deci1a  2p
c)  2
2
3 13
det 1
1 4
m
A mI m m
m

    
   , pentru orice număr naturalm 3p  2 2
1 1 1 0m m n n m n m n         
și, cumm șin sunt numere naturale,m n ,
obținem1m n  , deci perechile sunt 1,0 și 0,1 2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 11
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
2.a)1
1 2
1 12 1 2
2 2
x
x
x x

 
    
2p1
2
1
2
x
x

 
, pentru oricex M 3p
b)1 2 1 2
xy yx
x y x y xy y x yx
  
      2py x
, pentru orice , 0,1x y  , deci legea de compoziție „ ” este comutativă 3p
c)       
          
1 1
1 2 1 2
1 1 1 1
x y
f x f y x y
f x f y x y xyf x f y f x f y
x y x y

 
  
      
   
3p 
1 2 1
xy xy f xy
xy x y xy x yx y xy xy
  
        
, pentru orice , 0,x y   2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)     
2
1
'
x x x x
x
e e e x e
f x e
  
 
3p 
2
1 1
x x x
x x
e e x e x
e e
   
 
,x  2p
b) Tangenta la graficul funcțieif în punctul  1, 1A f are panta ' 1 0f  2p
Cum lim 1
x
f x
 
 , dreapta de ecuație1y  este asimptota orizontală spre la graficul
funcțieif și panta ei este0 , deci tangenta la graficul funcțieif în punctul  1, 1A f și
asimptota orizontală spre la graficul funcțieif sunt paralele
3p
c)       ' 1 '' 2x x
f x x e f x x e 
     , deci   2 x
g x x e
  ,x  3p   ' 3 x
g x x e
 
,x  , deci        1
' 3 2x x x
x
g x g x x e x e e e
  
       , pentru
orice număr realx
2p
2.a)       
1 1 1
2 2 3
2 2
0 0 0
2 1
1 1 4 4 2 1
1 1
x
x f x dx x x dx x x dx
x x
 
         
  
  
2p 4 2 1
1 1 1 0 3
0
x x x       
3p
b)    
1 1 2 2
2 2
0 0
12 1
4 2 ln 1 arctg
1 1 0
x
f x dx x dx x x x
x x
 
        
  
 
3p2 ln 2 arctg1 0 ln1 arctg 0 2 ln 2 4

        
2p
c)  2 2 2 2
2
1 1 1
2 1 ln 4 ln 2 ln 2 2 1 1
1 1
e e eex
f x x dx x x dx x x x dx e e e
x
 
         
 
  
2p2 2
1e e a  
, deci1a  3p