Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2020 – testul 10

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 10
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Test 10
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați numărul reala ,1a  , pentru care numerele1a  ,3 și7a  sunt termeni consecutivi
ai unei progresii geometrice.
5p 2. Determinați suma absciselor punctelor de intersecție a graficelor funcțiilor:f  ,  2 6f x x 
și:g  ,  3g x x   .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia2
3 3 8 0x x    .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un numărn din mulțimea 2,3,4,5,6,7,8,9A  , acesta să
verifice inegalitatea2 1
3n nC C .
5p 5. Determinați numerele realem ,2m  , pentru care vectorii4u i m j  și 2 2v m i j   sunt
coliniari.
5p 6. Determinați perimetrul triunghiuluiABC , știind că5AB  ,4AC  și  60m A   .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră sistemul de ecuații 2 1 4 1
0
3 1
m x my z
x y z
mx y z
    

   
    
 , undem este număr real.
5p a) Determinați numărul realm pentru care tripletul 1,0,1 este soluție a sistemului de ecuații.
5p b) Determinați mulțimea valorilor reale ale luim pentru care sistemul de ecuații admite soluție unică.
5p c) Determinați numerele \ 7,2m  , pentru care sistemul de ecuații admite soluția 0 0 0, ,x y z , cu0 0 0, ,x y z 
.
2. Pe mulţimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă11x y x y xy   .
5p a) Demonstrați că  1 1 111 11 11 11
x y x y    , pentru orice numere realex șiy .
5p b) Determinați numerele realex , pentru care8
11
x x  .
5p c) Calculați partea întreagă a numărului       1 2 3 41 1 1 1
11 11 11 11
a      .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia : 0,f   ,  2
3
f x x x x  .
5p a) Arătaţi că ' 1f x x  , 0,x   .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcţieif în punctul1
1, 3
A 
 
  .
5p c) Demonstrați că 2 3 1x x    , pentru orice 0,x   .
2. Pentru fiecare număr natural nenuln , se consideră funcţia : 1,nf    ,  1
n
n n
xf x x
  .
5p a) Determinați primitiva : 1,G    a funcției : 1,g    ,     3 31g x x f x  , știind
că 0 2020G  .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 10
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
5p b) Calculați 
1
1
0
f x dx .
5p c) Demonstrați că 
1
0
1
1nf x dx n
  , pentru orice număr natural nenuln .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 10
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Test 10
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.  2 2
3 1 7 6 16 0a a a a       3p
Cuma este număr real,1a  , obținem2a  2p
2.    2 2
6 3 3 0f x g x x x x x          3p
Cum0  , suma absciselor punctelor de intersecție a graficelor funcțiilorf șig este1 2p
3. 2
3 3 1 8 3 1x x
    3p0x 
2p
4. MulțimeaA are8 elemente, deci sunt8 cazuri posibile 2p   
1 3 7 0
2
n n n n n
    
și, cumn A , obținem 2,3, 4,5,6,7n  , deci sunt6 cazuri
favorabile
2pnr. cazuri favorabile 6 3
nr. cazuri posibile 8 4
p   
1p
5.24 2 8 0
2 2
m m m
m     
 2p2m  
sau4m  , care convin 3p
6.1
cos 2
A  și2 2 2 2 cosBC AB AC AB AC A      , deci21BC  3p9 21ABCP AB BC AC     
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 2
2
1 4 1
4
1 1 0 2
1 1
m
m
m
m
   
   
         

3p2m 
2p
b)
Matricea sistemului de ecuații este2 1 4
1 1 1
3 1
m m
A
m
 
 
  
 
  și  det 7 2A m m    , pentru
orice număr realm
3p
Sistemul de ecuații admite soluție unicădet 0A  , deci \ 7, 2m   2p
c) \ 7, 2 det 0m A    și sistemul de ecuații are soluția unică1 3 2
, ,
7 7 7
m m
m m m
  
 
    3p
Cum \ 7, 2m   , numerele1
7m  ,3
7
m
m

  și2
7
m
m

 sunt întregi8m   sau6m   2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 10
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
2.a)   1 1 1 1 111 11
11 11 11 11 11
x y xy x y x y y           3p     1 1 1 1 111 1 11
11 11 11 11 11
y x x y       
, pentru orice numere realex șiy 2p
b)   
2 2
1 1 8 1 911 11 11 11 11 121
x x      3p4
11
x  
sau2
11
x  2p
c)3 31 1 2 1 3 1 4 1 1 10 9 8 1 1
11 1 1 1 1 11 1 720
11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11
a        
                            
        3p1719 720 720
11
  
, deci partea întreagă a număruluia este egală cu719 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) 
3
2
'
2
3
f x x x
 
    
 
 
3p1
22 3 1 1
3 2 x x    
, 0,x   2p
b) ' 1 0f  ,  11 3
f   2p
Ecuația tangentei este    1 ' 1 1y f f x   , adică1
3
y   3p
c) ' 1 0f  , ' 0f x  , pentru orice 0,1x f  este descrescătoare pe 0,1 și ' 0f x  ,
pentru orice 1,x f   este crescătoare pe 1,  2p
Pentru orice 0,x   ,    2 1
1 3 3
f x f x x x     , de unde obținem 2 3 1x x    3p
2.a)  3
g x x , 1,x    , deci  4
4
xG x c  , undec  3p
Cum 0 2020G  , obținem2020c  , deci  4
2020
4
xG x   2p
b)    
1 1 1
1
0 0 0
11
1 ln 1
1 1 0
x
f x dx dx dx x x
x x
 
       
  
  
3p1 ln 2 
2p
c)  1
n n
n n
xf x x
x
 
 , pentru orice număr natural nenuln și orice 0,1x  3p 
1 1
0 0
n
nf x dx x dx 
și, cum1
0
1
1
n
x dx n
  , obținem 
1
0
1
1nf x dx n
  , pentru orice număr
natural nenuln
2p