Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2020 – 5 iunie 2020, testul 20

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 20
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Test 20
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Se considerăa un număr real. Arătați că numărul   2 2
2 2z a i a i    este real, unde2 1i   .
5p 2. Se consideră funcția:f  ,  2
2
1
x
f x x
   . Arătați că  1f x  , pentru orice număr realx .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia1
23 2 2
x
x

  .
5p 4. Determinați numărul funcțiilor   : 1,2,3 1,2,3,4f  care sunt strict crescătoare.
5p 5. În reperul cartezianxOy se consideră dreptele de ecuații5 0ax y   , undea este număr real și4 3 0x y  
. Determinați numărul reala pentru care cele două drepte sunt paralele.
5p 6. Determinați0, 2
x
 
 
  , astfel încâttg 3ctg 2 3x x  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea1 0 1
0 1 1
1 1 0
A
 
 
 
 


 și sistemul de ecuații1
2
x z
y z
x y a
 
  
   , undea este număr real.
5p a) Arătați cădet 2A   .
5p b) Arătați că matricea1 1 1
1 1 1 1
2 1 1 1
B
 
 
 



 

 este inversa matriceiA .
5p c) Determinați numărul reala , știind că sistemul de ecuații are soluția 0 0 0, ,x y z cu0x ,0y ,0z
termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
2. Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru1 2 1 2 1 2z z iz z z z  
.
5p a) Arătați căi i i .
5p b) Demonstrați că  1 2 1 2z z i z i z i i    , pentru orice numere complexe1z și2z .
5p c) Demonstrați că simetricul numărului 1 1
2 i în raport cu legea de compoziție „ ” este număr real.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia : 0,f   ,  ln 1n
f x x n x   , unden este număr natural nenul.
5p a) Arătaţi că   1
'
n
n x
f x x

 , 0,x   .
5p b) Arătați că lim 0
n
x
f x x
x
  , pentru orice număr natural nenuln .
5p c) Determinați mulțimea valorilor reale ale luia pentru care ecuația f x a are soluție în
intervalul 0,1 .
2. Se consideră funcţia:f  ,  2 1f x x  .
5p a) Arătaţi că 
3
0
12f x dx  .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 20
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
5p b) Calculați  3
1 3
0
x x
f x e dx
 .
5p c) Arătați că   
1 1
7 6
0 0
15 14 128f x dx f x dx   .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 20
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Test 20
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.2 2
4 4 4 4z a ai a ai       3p2
2 8a  
2p
2.   22
2 2 2
12 2 1
1 1
1 1 1
xx x x
f x x x x
 
       
  
3p
Cum 2
2
1 0
1
x
x
 
 , pentru orice număr realx , obținem  1f x  , pentru orice număr realx 2p
3.1
1 1 3
3 2 1
2
x
x x

   
    
 
3p1 0 1x x    
2p
4. Numărul funcțiilor   : 1,2,3 1,2,3,4f  care sunt strict crescătoare este egal cu3
4C  3p 
4! 4
3! 4 3 !
 

2p
5. Dreapta de ecuație5 0ax y   are panta egală cua 2p
Dreapta de ecuație4 3 0x y   are panta egală cu1
4 , deci1
4
a   3p
6. 223
tg 2 3 tg 2 3tg 3 0 tg 3 0
tg
x x x x
x
         3ptg 3x 
și0, 2
x
 
 
  , deci3
x 
 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)1 0 1
det 0 1 1
1 1 0
A  
2p0 0 0 1 1 0 2       
3p
b)3
1 0 1 1 1 1 2 0 0 1 0 0
1 1
0 1 1 1 1 1 0 2 0 0 1 0
2 2
1 1 0 1 1 1 0 0 2 0 0 1
IA B
       
       
    

      
       
       
 

3p3
1 1 1 1 0 1 2 0 0
1 1
1 1 1 0 1 1 0 2 0
2 2
1 1 1 1 1 0 0 0 2
B A I
     
           
     


   
 

  
, deciB este inversa matriceiA 2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 20
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
c)det 0A  , deci sistemul de ecuații are soluția1 1 3
, ,
2 2 2
a a a   
 
  , undea  3p1 1 3
2 2 2 2 0
2 2 2
a a a a a
  
       
2p
2.a)i i i i i i i      3p2i i i   
2p
b)   1 2 1 2 1 2 1 2 2z z iz z z z i i iz z i z i i           3p     2 1 1 21z i iz i i z i z i i       
, pentru orice numere complexe1z și2z 2p
c)0z z ,0 z z , pentru orice număr complexz , deci0 este elementul neutru al legii de
compoziție „ ” 2p     ' 0 ' 0 ' 1z z i z i z i i z i z i          
, deci1'z i
z i
  
 și, cum 1 1
2
z i  ,
obținem2 1' 1
1 2 1
iz i
i i i
      
   , care este număr real
3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)   1 11 1' n n
f x nx n n x
x x
 
      3p 1
1 n
n n x
xn x x

  
, 0,x   2p
b)  ln 1 ln 1lim lim lim
n n n
x x x
f x x x n x x n x
x x x  
        2p1
lim 0
1x
n x

 
 
, pentru orice număr natural nenuln 3p
c) Pentru orice 0,1x  , ' 0f x  , decif este descrescătoare pe 0,1 2p
Cum 
0
lim
x
f x

  , 1 2f  șif este continuă, obținem că ecuația f x a are soluție
în intervalul   0,1 2,a   3p
2.a)   
3 3 3
2
0 0
3
1 3 0
x
f x dx x dx x
 
      
 
 
3p27 3 12
3
  
2p
b)     
3 3 3 3
1 1 1
3 2 3 3 3 3
0 0 0
11 1'1 3
3 3 0
x x x x x x x x
f x e dx x e dx x x e dx e   
       
3p  4
4 01 1
3 3
e
e e 
  
2p
c)          
1 1 1 17 7 6 67 2 2 2 2 7 2 2
0 0 0 0
1
' 1 1 14 1 2 14 1 1 1
0
f x dx x x dx x x x x dx x x dx              
3p   
1 1
7 62 2
0 0
128 14 1 14 1x dx x dx     
, deci   
1 1
7 6
0 0
15 14 128f x dx f x dx   2p