Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2020 – 29 mai 2020, testul 19

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 19
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Test 19
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați numerele raționalea șib , știind că1 1 2
2 1 3 8 a b  
  .
5p 2. Se consideră funcția:f  ,  2
2
2
1
x
f x x

  . Arătați că  1
2020 3
2020
f f  
  
  .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia2 3
24 4 7
x
x

   .
5p 4. Determinați numărul de funcții   : 1,2,3 0,1,2f  cu proprietatea că     1 2 3 0f f f   .
5p 5. În reperul cartezianxOy se consideră paralelogramulABCD cu 1,3A  , 3,5B și 4, 2C   .
Determinați ecuația drepteiAD .
5p 6. Determinați,
2
x
 
 
 
  , știind cătg 2 1x   .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea 
1 2 1
0 1 3
2 1
A a
a
 


 

 



 și sistemul de ecuații2 2
3 4
2 2
x y z
y z
x y az
  
  
    , undea este
număr real.
5p a) Arătați că  det 11 8A  .
5p b) Determinați mulțimea valorilor reale ale luia pentru care sistemul de ecuații are soluție unică.
5p c) Pentru1a  , rezolvați sistemul de ecuații.
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție2 1x y xy x y     .
5p a) Arătați că1 1
2 2 2
  .
5p b) Determinați numărul reala , astfel încâta x a  , pentru orice număr realx .
5p c) Se consideră funcția:f  ,  2 1f x x  . Demonstrați că     f x y f x f y   , pentru
orice numere realex șiy .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia:f  ,   ln 2 1x
f x x   .
5p a) Arătați că  2 ln 2
' 1 2 1
x
x
f x    ,x  .
5p b) Demonstrați că funcțiaf este crescătoare.
5p c) Determinați ecuația asimptotei oblice spre la graficul funcțieif .
2. Se consideră funcția:f  ,   2 sinf x x x  .
5p a) Arătați că 2
0
1
2
f x dx
x 

 .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 19
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
5p b) Calculați 
2
0
f x dx
 .
5p c) Determinați numărul naturaln ,2n  , pentru care 
1 2
2
1
sin 1
9
n
x dx
f x  .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 19
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Test 19
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.1 1 2 1 3 2 2 4 2
2 1 3 8
      
  2p
Cuma șib sunt numere raționale4 2 2 4a b a     și1b   3p
2.  2
2
2020 2
2020 2020 1
f 
  2p   22 2 2
2 2 2 2
3 2020 11 2 2020 1 1 2020 2 2 2020 1
2020 3
2020 20202020 1 2020 1 2020 1 2020 1
f f f        
         
      
3p
3. 2 2 3 2 3 2
2 2 7 2 1 2 7 2 1x x x x
         3p0x 
2p
4. Sunt3
3 27 de funcții   : 1,2,3 0,1,2f  2p
Deoarece numărul funcțiilor   : 1,2,3 0,1,2f  pentru care     1 2 3 0f f f   este
egal cu3
2 8 , obținem că numărul de funcții   : 1,2,3 0,1,2f  cu proprietatea că     1 2 3 0f f f  
este egal cu27 8 19 
3p
5.AD BCAD BC m m  , deci1ADm  3p
Ecuația drepteiAD este 3 1 1y x    , deci4y x  2p
6.tg 2 1x   și,
2
x
 
 
 
  , deci7
2 4
x 
 3p7
8
x 

2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)    
1 2 1 1 2 1
1 0 1 3 det 1 0 1 3
2 1 1 2 1 1
A A
 
   
 
 
 
  
 
2p   1 0 12 2 3 0 18        
3p
b) Sistemul de ecuații are soluție unică  det 0A a  2p  det 17A a a 
, deci    det 0 \ 17A a a    3p
c) Pentru1a  , obținem  det 1 18 0A   , deci sistemul de ecuații are soluție unică 2p
Soluția sistemului de ecuații este 1,1,1 3p
2.a)1 1 1
2 2 2 2 1
2 2 2
        3p1 1
2 2 1
2 2
    
2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Test 19
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
b)  2 1 2 1 1 0a x a ax a x a a x           , pentru orice număr realx 3p1
2
a 
2p
c)     2 1 2 2 1 1 4 2 2 2 1f x y x y xy x y xy x y               3p      4 2 2 1 2 1 2 1xy x y x y f x f y       
, pentru orice numere realex șiy 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)    '' ' ln 2 1x
f x x    2p 1 2 ln 2'1 2 1 1
2 1 2 1
x
x
x x
     
 
,x  3p
b)2
0 1
2 1
x
x
 
 , pentru orice număr realx și0 ln 2 1  , deci2 ln 2 1
2 1
x
x 
 , pentru orice număr
realx
2p  2 ln 2
' 1 0
2 1
x
x
f x   

, pentru orice număr realx , decif este crescătoare 3p
c)   ln 2 1
lim lim 1 1 0 1
x
x x
f x
x x 
 
     
  
 
2p     lim lim ln 2 1 ln1 0x
x x
f x x
 
      
, deci dreapta de ecuațiey x este
asimptotă oblică spre la graficul funcțieif
3p
2.a)   2 2 2
0 0 0
2 sin sin cos 2
2 2 0
f x x x
dx dx x dx x
x x

    
   




3pcos cos0 1
2
   

2p
b)        
2 2 2 2
0 0 0 0
'2 sin 2 cos 2 cos cos2
0
f x dx x x dx x x dx x x xdx            





3p  22 cos 0 2 cos 0 sin 2 sin sin 0 3
2 2 2
0
x
 
          
 




2p
c)     
1 1 12 2
2 2 22
1 1 1
1
sin sin 1 1 1
12 3 2 12 sin 2
n n n
x x n
dx dx dx x nf x x x x n
      
  
  
, pentru orice număr
naturaln ,2n 
3p1 1
3 2 1 9
n
n
  

, deci4n  , care convine 2p