Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M1 Mate-Info 2020 – testul 9

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Test 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că2 3 4 5 6 7 8
1 1 1 1 1 1 1 1
1 2
2 2 2 2 2 2 2 2
         .
5p 2. Se consideră funcția:f  ,  2 4 5f x x x    . Determinați produsul absciselor punctelor
de intersecție a graficului funcțieif cu axaOx .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia2 2
3 3 3 91x x x 
   .
5p 4. Determinați termenul care nu îl conține pex din dezvoltarea9
1
x x
 
 
  , unde 0,x   .
5p 5. În reperul cartezianxOy se consideră punctele 1,1A  , 1,3B și 3,2C . Determinaţi ecuația
drepteiOG , știind căG este centrul de greutate al triunghiuluiABC .
5p 6. Calculați raza cercului circumscris triunghiuluiABC , știind că2AB  și2
cos 2
C   .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea 
1 2 1
1 1
3 0 2
A a a
 
   
 
  , undea este număr întreg.
5p a) Arătați că  det 1 7A  .
5p b) Demonstrați că rangul matricei A a este egal cu3 , pentru orice număr întrega .
5p c) Determinați numărul întregm pentru care inversa matricei A m are toate elementele numere
întregi.
2. Pe mulțimea 0,M   se definește legea de compoziție asociativăxy
x y x y
  .
5p a) Arătați că2 2 1 .
5p b) Demonstrați că  11 1 1
x y z x y z   
   , pentru orice, ,x y z M .
5p c) Demonstrați că1 1 1 1 1
2 3 4 10 54
 .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția   : 1, 0,f    ,     ln 1 ln 1f x x x    .
5p a) Arătați că  2
2
1
f x x
    , 1,x   .
5p b) Demonstrați că funcțiaf este bijectivă.
5p c) Calculați  lim
x
x f x
 .
2. Se consideră funcţia:f  ,  2 3 2f x x x   .
5p a) Arătați că 
1
0
5
6
f x dx  .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
5p b) Arătați că  2
1
7
ln 4
e f x e
x dx
x

 .
5p c) Determinați numerele realea ,1a  pentru care 
1
3
a x a
f x e dx e e  .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Test 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.9
2 3 4 5 6 7 8
1
1
1 1 1 1 1 1 1 1 2
1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 1 2
 
  
           

3p9
1
2 1 2
2
  
       
2p
2.  2
0 4 5 0f x x x     2p
Cum0  , produsul absciselor punctelor de intersecție a graficului funcțieif cu axaOx
este egal cu5 3p
3. 2 2 4 2
3 3 1 3 91 3 1x x 
     3p2x 
2p
4.   
9 9 3
9 2 2
1 9 9 9
1 k kk kkk k k
kT C x C x C x
x
 
 

 
   
 
, unde 0,1, 2, ,9k  3p9 3 0 3
2
k k
   
, deci3
4 9 84T C  nu îl conține pex 2p
5.1 1 3 1 3 2
,
3 3
G      
 
  , deci 1, 2G este centrul de greutate al triunghiuluiABC 3p
Ecuația drepteiOG este 
2 0
0 0
1 0
y x

  
 , deci2y x 2p
6.2 2
cos sin
2 2
C C    3p4
2 2
sin 2
AB
R R
C
  
, deci raza cercului circumscris triunghiuluiABC este2R  2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)    
1 2 1 1 2 1
1 1 1 1 det 1 1 1 1
3 0 2 3 0 2
A A
  
 
    
 
 
2p 2 0 6 3 4 0 7       
3p
b)  det 11 4A a a  , pentru orice număr întrega 2p
Cum   11
det 0 4
A a a    , obținem  det 0A a  , pentru orice număr întrega ,
deci rangul matricei A a este egal cu3 , pentru orice număr întrega
3p
c) Pentru orice număr întregm , A m este inversabilă și 1
A m are toate elementele numere
întregi  det 1A m   sau  det 1A m  3p
Cumm este număr întreg, obținem3m  2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2.a)2 2
2 2 2 2

 
 3p4 1
4
 
2p
b)xy z
xy xyzx y
x y z z xyx y xy xz yzz
x y

  
    
    

3p  11 1 1
1 1 1
1 1 x y z
xy xz yz z y x
xyz xyz xyz
  
  
    
  
, pentru orice, ,x y z M 2p
c) 
11 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 10
2 3 4 10 2 3 4 10
            
                           
3p1 110 11 1
1 54
2 54
  
    
 
2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)  1 1
1 1
f x x x
   
  3p 
   2
1 1 2
1 1 1
x x
x x x
  
  
  
, 1,x   2p
b)  0f x  , pentru orice 1,x f   este strict descrescătoare pe 1,  , decif este
injectivă 2pf
este continuă pe 1,  , 
1
lim
x
f x

  și lim 0
x
f x f
 
  este surjectivă, decif
este bijectivă
3p
c)   1 1
lim lim ln lim ln
1 1
x
x x x
x x
x f x x x x  
    
     
    
3p2
1 1
2 22
lim ln 1 ln 2
1
x
x x
x
e
x
 

 
         
 
2p
2.a)   
1 1 3 2
2
0 0
1
3 2 3 2
3 2 0
x x
f x dx x x dx x
 
         
 
 
3p1 3 5
2
3 2 6
   
2p
b)    2 2
1 1 1 1
2 1
ln 3 ln ln 3 ln 3 2 ln
2 2 21 1
e e e ee ef x x x
x dx x x dx x dx x x dx x
x x
   
                 
   
2p2 2 2 2 2
2 2 1 7
3 3 ln ln 1 3 3 3 1
2 4 2 4 4 41
ee x e e e
e x e e e
    
                   
   
3p
c)         2 2 2
1 1
3 2 2 3 5 7 5 7 3
1 1
a a
x x x x a
a a
f x e dx x x e x e dx x x e a a e e            
3p 2 2
5 7 3 3 5 6 0a a
a a e e e e a a        
, deci2a  sau3a  , care convin 2p