Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M1 Mate-Info 2020 – testul 8

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Test 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați suma elementelor mulțimii 5A x x   .
5p 2. Determinați numerele realem șin , știind că 1 2f  și 2 1f  , unde:f  , f x mx n  .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia16 2 4 8 0x x
    .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să
aibă cifra sutelor un număr prim.
5p 5. Se consideră paralelogramulABCD și punctulO , intersecția diagonalelor acestuia. Arătați căOB OC AB 
.
5p 6. Determinațisin x , știind că 3 ,2
2
x
  și4cos 5
x  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea 
2 1
3 1
3 2 1 1
a
A a a a
a
 
   
   și sistemul de ecuații 
 
2 1
3 2 1
3 2 1 1
x ay z
a x ay z a
x a y z
  
     
     ,
undea este număr real.
5p a) Arătați că  det 0 5A  .
5p b) Determinați mulțimea valorilor reale ale luia pentru care sistemul de ecuații este compatibil
determinat.
5p c) Determinați numărul reala , știind că sistemul de ecuații are soluție unică 0 0 0, ,x y z și0x ,0y și0z
sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru3
xy
x y x y   
.
5p a) Arătați că1 3 3  .
5p b) Determinați numărul realx pentru care26
9
x x x   .
5p c) Determinați numerele naturalen ale căror simetrice în raport cu legea de compoziție „ ” sunt
numere naturale.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia : 0,f   ,  4 4lnf x x x  .
5p a) Arătaţi că     2
4 1 1 1
' x x x
f x x
  
 , 0,x   .
5p b) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficului funcțieif .
5p c) Demonstrați că, pentru fiecare număr naturaln ,2n  , ecuația  0f x n  are două soluții reale
distincte.
2. Se consideră funcţia:f  ,  3 x
f x x e .
5p a) Arătați că 
2
0
4x
f x e dx  .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
5p b) Calculați 2
1
1 ln
e
f x dx
x .
5p c) Arătați că     
1 2
0
2 3f x F x dx e  , unde:F  este primitiva funcţieif pentru care 0 0F 
.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 8
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Test 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
 Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 0,1, 2A  3p
Suma elementelor mulțimiiA este egală cu0 1 2 3   2p
2. 1f m n  și 2 2f m n  , deci2m n  și2 1m n  2p1m  
,3n  3p
3.  4 4 4 2 0x x
   2p2
2 2x 
, deci1
2
x  3p
4. Mulțimea numerelor naturale de trei cifre are900 de elemente, deci sunt900 de cazuri
posibile 2p
Mulțimea numerelor naturale de trei cifre care au cifra sutelor un număr prim are4 10 10 400  
de elemente, deci sunt400 de cazuri favorabile 2pnr. cazuri favorabile 400 4
nr. cazuri posibile 900 9
p   
1p
5.O este punctul de intersecție a diagonalelor paralelogramuluiABCD OC OA   3pOB OC OB OA AB   
2p
6.2 2 16 9
sin 1 cos 1 25 25
x x     3p
Cum 3 ,2
2
x
  , obținem3
sin 5
x   2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)    
2 0 1 2 0 1
0 3 0 1 det 0 3 0 1
3 1 1 3 1 1
A A
 
 
      
   
3p 0 3 0 0 2 0 5       
2p
b)   2
det 6 5A a a a   , pentru orice număr reala 2p
Sistemul de ecuații este compatibil determinat  det 0A a  , deci \ 1,5a  3p
c) Sistemul are soluție unică 0 0 0, ,x y z , deci \ 1,5a  și soluția sistemului este 2 1 2 1
, ,
5 5 5
a a
a a a
  
  
   
3p 2 12 1
2 5 5 5
a a
a a a
    
       
     
, deci1a   , care convine 2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 8
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2.a)1 3
1 3 1 3 3

     3p1 3 1 3   
2p
b) 21 3 3
3
x x x     , 3
2
1 3 3
3
x x x x     , pentru orice număr realx 2p   3 31 26
3 3 3 1 3 1
9 9
x x x          
, de unde obținem2x  3p
c)0 0x x x    , pentru orice număr realx , deci0e  este elementul neutru al legii de
compoziție „ ” 1p ' 0 ' 3 3n n n n n    
, deci3
' 3
n
n n
  , pentru orice număr naturaln ,3n  2p
Cumn și'n sunt numere naturale, obținem0n  ,4n  ,6n  sau12n  2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)  3 4' 4f x x x
   3p        4 2 2 2
4 1 4 1 1 4 1 1 1x x x x x x
x x x
     
  
, 0,x   2p
b)   4
0 0
lim lim 4ln
x x
f x x x
 
    3p
Dreapta de ecuație0x  este asimptotă verticală la graficul funcțieif 2p
c) ' 0 1f x x   , ' 0f x  , pentru orice 0,1x f  este strict descrescătoare pe 0,1
și ' 0f x  , pentru orice 1,x f   este strict crescătoare pe 1,  2p 
0
lim
x
f x

 
, 1 1f  , lim
x
f x

  șif este continuă pe 0,  , deci pentru
fiecare număr naturaln ,2n  , ecuația  0f x n  are două soluții reale distincte, 1 0,1x 
și 2 1,x  
3p
2.a) 
2 2 4
3
0 0
2
4 0
x x
f x e dx x dx    
3p4 0 4  
2p
b)  4
3
2
1 1
1 1 lnln ln 4 1
e e e
xf x dx xdx
xx    
3p4 4
ln ln 1 1
4 4 4
e
  
2p
c)   3 2
3 6 6 x
F x x x x e c     ,c  și, cum     3 2
0 0 3 6 6 6x
F F x x x x e       2p                
1 1 22 2 2
0 0
1
1 1' 1 0 2 3
2 20
f x F x dx F x F x dx F x F F e      
3p