Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M1 Mate-Info 2020 – testul 7

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Test 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați partea întreagă a numărului real 2
2 1x   .
5p 2. Se consideră funcția:f  ,  2 2f x x x  . Determinați abscisele punctelor de intersecție a
graficului funcțieif cu dreapta de ecuație2 3y x  .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia7 2
2 1
4 4
x
x 
  
  
  .
5p 4. Determinați numărul submulțimilor cu trei elemente ale mulțimii 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A  .
5p 5. În reperul cartezianxOy se consideră punctele 1,3A , 2,5B . Determinaţi coordonatele
punctuluiC pentru care2AC AB .
5p 6. Calculați perimetrul triunghiuluiABC , știind că2AB  ,3AC  și  60m BAC   .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele3
0 0 0
0 0 0
0 0 0
O
 
   
 
  , 
1 0 3
0 1
1 0
A a a
a
 
   
   și  
1 0 1
0 1
3 0
t
A a a
a
 
 
  
 
  , undea
este număr real.
5p a) Arătaţi că  det 2 1A  .
5p b) Demonstrați că, pentru orice număr raționalq , matricea A q este inversabilă.
5p c) Se consideră matricea      t
B a A a A a  . Determinați numerele raționalep pentru care        35B p B p B p B p O 
.
2. Pe mulțimea 0,1G  se definește legea de compoziție asociativă2 1
xy
x y xy x y
     .
5p a) Arătați că1 1 1
3 3 5
  .
5p b) Verificați dacă1
2
e  este elementul neutru al legii de compoziție „ ”.
5p c) Știind că ,G  este grup, demonstrați că funcția:f G M ,  1 1f x x
  este un izomorfism de
la grupul ,G  la grupul ,M  , unde 0,M   și „ ” reprezintă operația de înmulțire a
numerelor reale.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia : 0,f   ,  lnf x x x .
5p a) Arătaţi că  1 lnf x x   , 0,x   .
5p b) Determinaţi 0,m   pentru care tangenta la graficul funcțieif în punctul  ,M m f m este
paralelă cu dreapta de ecuație2y x .
5p c) Demonstrați că1
ln 0x x e
  , pentru orice 0,x   .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcţia:f  ,  cosf x x .
5p a) Arătați că 
2
0
1
sin 2
x f x dx

 .
5p b) Calculați 
0
1
lim
x
x f t dt
x  .
5p c) Pentru fiecare număr natural nenuln , se consideră numărul  
2
0
n
nI f x dx

  . Demonstrați că
șirul  1n n
I  este convergent.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 7
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Test 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
 Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2
0 2 1 1 0 2 1 1       3p
Partea întreagă a numărului realx este0 2p
2.  2 2
2 2 3 4 3 0f x y x x x x x         3p1x 
sau3x  2p
3.2 2 7
4 4 2 2 7x x x x 
     3p5x 
2p
4. Numărul submulțimilor cu trei elemente ale mulțimiiA este egal cu3
10C  3p 
10! 120
3! 10 3 !
 

2p
5.2AC AB B  este mijlocul segmentuluiAC , deci1
2 2
Cx
 și3
5 2
Cy
 3p3Cx 
și7Cy  2p
6.  1
cos 2
BAC  și 2 2 2 2 cosBC AB AC AB AC BAC      , deci7BC  3p5 7ABCP AB BC AC     
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)    
1 0 3 1 0 3
2 0 1 2 det 2 0 1 2
1 2 0 1 2 0
A A
 
 
    
   
2p 0 0 0 3 4 0 1       
3p
b)   2
det 3A a a  , pentru orice număr reala 2p
Pentru orice număr raționalq ,  det 0A q  , deci matricea A q este inversabilă 3p
c)
Pentru orice număr raționalp , 
0 0 1
2 0 0
1 0
B p p
p
 
 
  
    ,    2
2
1 0
4 0
0 0 1
p
B p B p p p
p
 
 
   
 
 
și         2
4 1B p B p B p p B p  
3p   2 3
1
1 4 2
p B p O p    
sau1
2
p  , care convin 2p
2.a)1 1
1 1 3 3
1 1 1 13 3 2 1
3 3 3 3

  
    
3p1 9 1
9 5 5
  
2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 7
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
b)1 1
1 2 2
1 1 12 2 1
2 2 2
x x
x x
x x
 
   
    
, pentru oricex G 2p1 1
1 12 2
1 1 12 22 1
2 2 2
x x
x x x
x x
 
     
    
, pentru oricex G și, cum1
2 G , obținem că1
2
e 
este elementul neutru al legii de compoziție „ ”
3p
c)        
1 12 1 1 1 1
1 x yxy x y xy x y x y
f x y f x f y
xy xy xy x y
        
        ,
pentru orice,x y G , decif este un morfism de la grupul ,G  la grupul ,M 
3pf
este continuă,f este strict descrescătoare pe 0,1 , 
0
lim
x
f x

  și 
1
lim 0
x
f x

 ,
decif este bijectivăf este un izomorfism de la grupul ,G  la grupul ,M  2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)   '' ln lnf x x x x x      2p1
ln 1 lnx x x
x
    
, 0,x   3p
b) Tangenta la graficul funcțieif în  ,M m f m este paralelă cu dreapta de ecuație 2 ' 2y x f m   2p1 ln 2m m e   
, care convine 3p
c)   
1
0 , 0f x x f x
e
     , pentru orice1
0,x f
e
 
  
  strict descrescătoare pe1
0, e
 
 
  și  0f x 
, pentru orice1 ,x f
e
 
   
  strict crescătoare pe1 ,
e
 
 
  , deci  1
f x f e
 
  
  ,
pentru orice 0,x  
3p1
lnx x e
 
, deci1
ln 0x x e
  , pentru orice 0,x   2p
2.a) 
2 2 2
0 0
1 2sin sin cos sin
2 0
x f x dx x x dx x



   
3p 
1 1
1 0
2 2
  
2p
b) 
0 0
cos sin sin
0
x x x
f t dt t dt t x   
, pentru orice număr realx 2p 
0
1 1
lim lim sin 0
x
x x
f t dt x
x x 
  
3p
c)0, 2
x
 
  
 
, 
2
1 1
0
0 cos 1 0 cos 1 cos cos 1 0n n
n n n nx x I I x x dx I I

             ,
pentru orice număr natural nenuln , deci șirul  1n n
I  e descrescător
2p0, cos 0 0
2
n nx x I
 
     
 
, pentru orice număr natural nenuln , deci șirul  1n n
I  este
mărginit inferior, de unde obținem că șirul  1n n
I  este convergent
3p