Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M1 Mate-Info 2020 – testul 6

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 6
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Test 6
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați partea reală a numărului complex   
2 2
1 3 1 3z i i    .
5p 2. Se consideră funcția:f  ,  5 2f x x  . Arătați că           0 1 2 3 4 5 0f f f f f f      .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia2
2
1
log 2
log
x x
  .
5p 4. Se consideră mulțimea 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A  . Determinați numărul de submulțimi cu3
elemente ale luiA , care conțin exact2 numere impare.
5p 5. Se consideră triunghiulABC și puncteleM ,N șiP astfel încât2AM AB ,2BN BC și2CP CA
. Știind căO este un punct oarecare din plan, arătați căOM ON OP OA OB OC     .
5p 6. Știind că ,2x
  și1
cos2 3
x  , calculațisin x .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea 
2 2
3 2
2 5
a
A a a
a
 
   
 
  și sistemul de ecuații2 2 4
3 2 1
2 5
x ay z
x ay z
x ay z b
  
   
    , undea șib
sunt numere reale.
5p a) Arătaţi că  det 1 3A   .
5p b) Pentru1a   și2b   , rezolvați sistemul de ecuații.
5p c) Determinați numerele realea șib pentru care sistemul de ecuații este compatibil nedeterminat.
2. Pe mulțimea 1,G   se definește legea de compoziție asociativă2 2 2 2 2x y x y x y     .
5p a) Arătați că  2 2
1 1 1x y x y     , pentru orice,x y G .
5p b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „ ”.
5p c) Știind că ,G  este grup, demonstrați că funcția:f M G ,  1f x x  este un izomorfism
de la grupul ,M  la grupul ,G  , unde 0,M   și „ ” reprezintă operația de înmulțire a
numerelor reale.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia:f  ,   1 x
f x x e
  .
5p a) Arătaţi că  x
f x xe
   ,x  .
5p b) Calculați  
  
lim
1
n
nnn
f n
e f n  .
5p c) Determinați mulțimea valorilor reale ale luim pentru care ecuația f x m are două soluții reale
distincte.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 6
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcţia : 1,f    ,  2
1
f x x x
   .
5p a) Arătați că  
1
0
2ln 2f x x dx  .
5p b) Calculați 
1
2 ln
1
e
f x x dx
x
 
 
 
 .
5p c) Determinați 0,a   pentru care   
1 2
0
1
2 ln 4 ln
4
f x F x dx a   , undeF este primitiva
funcțieif pentru care 0 0F  .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 6
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Test 6
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
 Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 2
1 2 3 3 1 2 3 3 4 3z i i i i i       3p
Partea reală a luiz este0 2p
2. 3 0f  , 4 0f  , 5 0f  2p 0 0f 
, 1 0f  și 2 0f  , deci           0 1 2 3 4 5 0f f f f f f      3p
3. 2
2 2log 1 0 log 1x x    3p2x 
, care convine 2p
4. Numărul de submulțimi cu3 elemente ale luiA , care conțin exact2 numere impare este
egal cu2 1
5 5C C  3p5 4 5 50
2

  
2p
5.2 2 2OM ON OP OA AM OB BN OC CP OA AB OB BC OC CA               3p 2OA OB OC AB BC CA OA OB OC        
2p
6.2 21 1
1 2sin sin
3 3
x x    3p
Cum , 2x
  , obținem3
sin 3
x   2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)    
2 1 2 2 1 2
1 3 1 2 det 1 3 1 2
2 1 5 2 1 5
A A
 
 
    
 
 
2p10 6 4 4 4 15 3       
3p
b)
Sistemul de ecuații devine2 2 4
3 2 1
2 5 2
x y z
x y z
x y z
  
   
     și, cum  det 1 3 0A    , sistemul de ecuații
este compatibil determinat
2p3x  
,14y   ,2z   3p
c)  
2 2 2 1 2
det 3 2 3 1 2 3
2 5 2 1 5
a
A a a a a
a
   
, pentru orice număr reala și, cum  det 0A a  ,
obținem0a 
2p2 2 2 0
3 2   
și2 2 4
3 2 1 0
2 5 b
 , deci38 2 0b  , de unde obținem19b  3p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 6
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2.a)2 2 2 2 1 1x y x y x y       3p      2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1x y y x y        
, pentru orice,x y G 2p
b)     2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1x e x x e x x e x            , pentru oricex G , deci2 1 1e  
și, cume G , obținem2e 
3p
Cum  2 2
2 2 1 1 1x x x x       , pentru oricex G , obținem că2e  este
elementul neutru al legii de compoziție „ ”
2p
c)              2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1f x f y f x f y x y xy f xy              ,
pentru orice,x y M , decif este un morfism de la grupul ,M  la grupul ,G 
3pf
este continuă,f este strict crescătoare pe 0,  , 
0
lim 1
x
f x

 și lim
x
f x

  ,
decif este bijectivăf este un izomorfism de la grupul ,M  la grupul ,G  2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)     1 1 1x x
f x e x e 
        3p  1 1 x x
x e xe 
    
,x  2p
b)  
  
 
   1
1 1
221
nn nn
n nn
f n n e n
ne n ee f n

 
            
, pentru orice număr naturaln 2p  
  
2 2
1 11 1 1
lim lim lim 1
2 21
n
n nn n
nnn n n
f n n e
n n ee f n

 
 
  
 
                   
 
3p
c)    lim lim 1 x
x x
f x x e
 
    și  1
lim lim 0xx x
x
f x e 

  2p
Cumf este continuă pe ,f este strict crescătoare pe ,0 , 0 1f  șif este strict
descrescătoare pe 0,  , ecuația f x m are două soluții reale distincte 0,1m  3p
2.a)    
1 1
0 0
12 2ln 1
1 0
f x x dx dx x
x
    
 
3p2ln 2 2ln1 2ln 2  
2p
b)  2 2
1 1 1
2 1
ln ln ln
1 2 21
e e eex x
f x x dx x x dx x dx
x x
 
      
 
  
3p2 2 2 1
2 4 41
ee x e 
  
2p
c)F este primitivă a luif și 0 0F  , deci : 1,F    ,   
2
2ln 1
2
x
F x x   1p         
1 1 2 2
0 0
1 1
2 2 ' 2ln 2 4ln 2
40
f x F x dx F x F x dx F x     
2p2 2 2 21 1
2ln 2 4ln 2 ln 4 ln 4ln 2 ln
4 4 a a      
, deciln 2ln 2a   sauln 2ln 2a  , de
unde obținem1
4
a  sau4a  , care convin
2p