Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M1 Mate-Info 2020 – testul 18

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 18
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Test 18
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că, dacă3z i  , undez este număr complex, atunci2 6 10 0z z   .
5p 2. Se consideră funcțiile:f  ,  2 4f x x x  și:g  ,  2 2 6g x x x   . Determinați
abscisa punctului de intersecție a graficelor funcțiilorf șig .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia2 3 1x x   .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
produsul cifrelor sale să fie un număr prim.
5p 5. În reperul cartezianxOy se consideră punctele 1,2A  și 3, 1B  . Știind că punctulM este
simetricul luiA față deB și punctulN este simetricul luiB față deM , determinați coordonatele
punctuluiN .
5p 6. Arătați că, dacă0, 2
x
     șisin cos cos 2x x x  , atuncisin cos 1x x   .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 
2 0 0
0 1 2
0 0 1
x
A x x
 
 
  
 
  și3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 
   
 
  , undex este număr real.
5p a) Arătați că  det 1 2A  .
5p b) Demonstrați că     A x A y A x y   , pentru orice numere realex șiy .
5p c) Determinați rangul matricei      31 2 3B A A A I    .
2. Pe mulțimea numerelor raționale se definește legea de compoziție2 2 2 2
2 2 6x y x y x y     .
5p a) Arătați că1 1 3  .
5p b) Arătați că2x y  , pentru orice numere raționalex șiy .
5p c) Determinați perechile ,m n de numere întregi pentru care3m n  .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia : 1,f    ,   2 2 2ln 1f x x x x    .
5p a) Arătaţi că   2 2
' 1
x x
f x x

  , 1,x    .
5p b) Determinați numărul real 1,a    , știind că tangenta la graficul funcțieif în punctul  ,A a f a
este paralelă cu dreapta de ecuație3 2020y x  .
5p c) Demonstrați că   2
1 2ln 1 1x x    , pentru orice 1,x    .
2. Se consideră funcţia:f  ,  2 2f x x  . Pentru fiecare număr natural nenuln , se
consideră numărul 
1
0
n
nI x f x dx  .
5p a) Arătați că 
3 2
0
15f x dx  .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 18
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
5p b) Demonstrați călim 0n
n
I

 .
5p c) Arătați că    22 2 1 3 3n nn I n I     , pentru orice număr naturaln ,3n  .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 18
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Test 18
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
 Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.   22 2
6 10 3 6 3 10 9 6 18 6 10z z i i i i i              3p 9 1 8 0    
2p
2.    2 2
4 2 6 6 6f x g x x x x x x          3p1x 
2p
3. 2 2 2
2 3 1 2 3 2 1 2x x x x x x          2p2x  
, care nu convine sau2x  , care convine 3p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are90 de elemente, deci sunt90 de cazuri
posibile 2p
Numerele naturale de două cifre care au produsul cifrelor un număr prim sunt12 ,21 ,13 ,31
,15 ,51 ,17 și71 , deci sunt8 cazuri favorabile 2pnr. cazuri favorabile 8 4
nr. cazuri posibile 90 45
p   
1p
5.B este mijlocul segmentului2
A M
B
x x
AM x 
  și2
A M
B
y y
y 
 , deci 7, 4M  2pM
este mijlocul segmentului2
B N
M
x x
BN x 
  și2
B N
M
y y
y 
 , deci 11, 7N  3p
6.  2 2
sin cos cos2 sin cos cos sin sin cos cos sin cos sinx x x x x x x x x x x x x           3p
Cum0, 2
x     
 , obținemcos sin 1x x  , decisin cos 1x x   2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)    
2 0 0 2 0 0
1 0 1 2 det 1 0 1 2
0 0 1 0 0 1
A A
 
 
    
 
 
2p2 0 0 0 0 0 2      
3p
b)   
2 0 0 2 0 0 2 2 0 0
0 1 2 0 1 2 0 1 2 2
0 0 1 0 0 1 0 0 1
x y x y
A x A y x y y x
    
    
        
    
    
2p   
2 0 0
0 1 2
0 0 1
x y
x y A x y
 
 
    
 
 
, pentru orice numere realex șiy 3p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 18
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
c)   
6
3 3
2 1 0 0
1 2 3 6 0 0 12
0 0 0
B A I A I
 
 
        
 
 
2p
Cumdet 0B  și 
6 62 1 0 12 2 1 0
0 12
    , obținem că rangul matriceiB este egal cu 2 3p
2.a)2 2 2 2
1 1 1 1 2 1 2 1 6         3p1 2 2 6 3    
2p
b)      2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 6 2 2 2 2 0 2 2 0x y x y x y y x y             3p2 2x 
sau2 2y  , ceea ce este imposibil pentru orice numere raționalex șiy , deci2x y  2p
c)  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 6 3 2 2 4 1 2 2 1m n m n m n m n m n             2pm
șin sunt numere întregi2 2
2 2 1m n      sau2 2
2 2 1m n    , deci2 2 1m n 
sau2 2 3m n  , de unde obținem perechile de numere întregi 1, 1  , 1,1 , 1, 1 , 1,1 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)  2
' 2 2 1
f x x x
   
 3p 2 2 22 4 2 2
1 1
x xx x
x x
  
 
 
, 1,x    2p
b) Tangenta la graficul funcțieif în punctul  ,A a f a are panta egală cu 'f a și, cum
dreapta de ecuație3 2020y x  are panta egală cu 3, obținem ' 3f a  2p  22 2 3 2 3 0
1
a a a a
a
     

și, cum 1,a    , obținem1a  3p
c) ' 0f x  , pentru orice 1,0x f   este descrescătoare pe 1,0 și ' 0f x  , pentru
orice 0,x f   este crescătoare pe     0, 0f x f   , pentru orice 1,x   
și, cum 0 0f  , obținem  0f x  , pentru orice 1,x   
3p     22 2 2ln 1 1 2ln 1 1x x x x x       
, pentru orice 1,x    2p
2.a)   
3 3 3
2 2
0 0
3
2 2
3 0
x
f x dx x dx x
 
      
 
 
3p9 6 15  
2p
b) 
1 1 1 1
2
0 0 0
1 30 2 3 3 1 10
n
n n n
n xI x f x dx x x dx x dx n n

       
   
, pentru orice număr
natural nenuln
3p
Cum3lim 0
1n n 
 , obținemlim 0n
n
I

 2p
c) 21 1 1 1
2 1 1
2 2 2
0 0 0 0
2
2 2
2 2 2
n
n n n
n
x x x x
I x x dx dx x dx x dx
x x x
 

       
  
   
2p       
1 1
1 2 1 2 2
0 0
' '
2 2 2 3 1 2 3 2 1n n n nx x dx x x dx n I n I            
și obținem    22 2 1 3 3n nn I n I    
, pentru orice număr naturaln ,3n 
3p