Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M1 Mate-Info 2020 – testul 17

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 17
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Test 17
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că, dacă2 2 0z z   , undez este număr complex, atunci2
2
4 3z z
   .
5p 2. Se consideră funcția:f  ,   2f x x , unde x reprezintă partea fracționară a luix .
Arătați că 
1
2
f x f x
 
  
  , pentru orice număr realx .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia1 2 1
3 3 2 2x x x x  
   .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număra din mulțimea 3, 4, 5, , 25A  ,
numerele3 ,4 șia să reprezinte lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic.
5p 5. Se consideră paralelogramulABCD și puncteleM șiN astfel încât1
4
AM AC și1
3
AN AB .
Demonstrați că puncteleD ,M șiN sunt coliniare.
5p 6. Arătați că, dacăABC este un triunghi oarecare, atunci1
cos 2
AB AC
A AC AB
 
  
  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea 
1 2 1
2 1
1 3 2
A m m
 



 
 
  și sistemul de ecuații2 0
2 0
3 2 0
x y z
x my z
x y z
  
   
    , undem este
număr real.
5p a) Arătați că  det 9A m m  , pentru orice număr realm .
5p b) Determinați numărul realm pentru care sistemul de ecuații admite soluții diferite de 0,0,0 .
5p c) Pentru9m  , se consideră 0 0 0, ,x y z o soluție a sistemului de ecuații, cu0x ,0y și0z numere
reale astfel încât   0 0 0, , 0,0,0x y z  . Calculați2 2 2
0 0 0
2 2 2
0 0 0
x y z
x y z
 
  .
2. Pe mulțimea numerelor întregi se definește legea de compoziție5 5 20x y xy x y     .
5p a) Arătați că 2 1 23   .
5p b) Demonstrați că4e   este elementul neutru al legii de compoziție „ ”.
5p c) Pentru 0,1,2r  , notăm cu A r mulțimea numerelor naturale care au restulr la împărțirea cu3
. Determinați numerele 0,1,2r  pentru care A r este parte stabilă a lui în raport cu legea de
compoziție „ ”.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia : 1,f    ,    1 x
f x x e e   .
5p a) Arătaţi că  x
f x xe e   , 1,x    .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 17
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcțieif , în punctul de abscisă1x  , situat pe graficul
funcțieif .
5p c) Determinaţi punctul de extrem al funcțieif .
2. Se consideră funcţia : 2,f    ,   
2
ln 2
1
x
f x x

  .
5p a) Arătați că 
 
1
0 ln 2 4
f x dx
x


 .
5p b) Calculați 
0 0
1
lim
x
x
f t dt
x  .
5p c) Arătați că 
1
0
arctg ln 3
2 4
x
f x dx
x
 
  
 
 .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 17
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Test 17
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
 Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.2 2 0 0z z z     și2 1z z
   2p2
2 1z z
 
  
 
, deci2
2
4
4 1z z
   , de unde obținem2
2
4 3z z
   3p
2. 
1 1
2 2 1
2 2
f x x x
    
         
     2p   2x f x 
, pentru orice număr realx 3p
3.   1 1
3 3 1 2 2 1 2 3 2 3 2x x x x x x 
        3p0x 
2p
4. MulțimeaA are23 de elemente, deci sunt23 de cazuri posibile 2p
Numerelea din mulțimeaA astfel încât3 ,4 șia să fie lungimile laturilor unui triunghi
dreptunghic sunt7 (dacăa este lungimea unei catete) și25 (dacăa este lungimea
ipotenuzei), deci sunt2 cazuri favorabile
2pnr. cazuri favorabile 2
nr. cazuri posibile 23
p  
1p
5.   1 1 1 3
4 4 4
DM DA AM DA AC DA AB AD AB AD         2p 1 1 4
3
3 3 3
DN DA AN DA AB AB AD DM      
, deciDM șiDN sunt coliniari, de
unde obținem că puncteleD ,M șiN sunt coliniare
3p
6.2 2
AB AC AB AC
AC AB AB AC

   2p
Cum2 2 2 2 2
cos 2 2
AB AC BC AB AC
A AB AC AB AC
  
 
  , obținem1
cos 2
AB AC
A AC AB
 
  
  3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)      
1 2 1
det 2 1 2 6 2 3 8
1 3 2
A m m m m         

3p5 14 9m m    
, pentru orice număr realm 2p
b) Sistemul de ecuații este omogen, deci admite soluții diferite de    0,0,0 det 0A m  3p9m 
2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 17
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
c) 
1 2 1
9 2 9 1
1 3 2
A
 
 


 


,  det 9 0A  și  
1 2 0 rang 9 2
2 9 A   , deci soluțiile nenule
ale sistemului de ecuații sunt de forma7 1
, ,
5 5
  
 
 
  , unde


3p2 2 2
2 2 2 2
0 0 0
2 2 2 2 2 2
20 0 0
49
25 125 25
349 75
25 25
x y z
x y z
   
 


 
    
   
2p
2.a)     2 1 2 1 5 2 5 1 20            3p 2 10 5 20 23      
2p
b)       4 4 5 5 4 20 4 5 20 20x x x x x x                 , pentru orice număr întregx 3p       4 4 5 4 5 20 4 20 5 20x x x x x x                
, pentru orice număr întregx ,
deci4e   este elementul neutru al legii de compoziție „ ” 2p
c) Cum0 0 20 , 0 0A și 20 0A , mulțimea 0A nu este parte stabilă a lui în
raport cu legea de compoziție „ ” 1p , 1 3 1x y A x m   
și3 1y n  , unde , 9 18 18 31 1m n x y mn m n A        ,
deci 1A este parte stabilă a lui în raport cu legea de compoziție „ ”, deci1r  convine 2p , 2 3 2x y A x k   
și3 2y l  , unde , 9 21 21 44 2k l x y kl k l A        ,
deci 2A este parte stabilă a lui în raport cu legea de compoziție „ ”, deci2r  convine 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)   1x x
f x e e x e      3px x x x
e e xe e xe e     
, 1,x    2p
b) 1 0f  , ' 1 0f  2p
Ecuația tangentei este    1 ' 1 1y f f x   , adică0y  3p
c)   " 1 0x
f x x e   , pentru orice 1, 'x f    strict crescătoare pe 1,  și,
cum 1 0f   , obținem că  0f x  , pentru orice 1,1x   și  0f x  , pentru orice 1,x   3p
Cumf este strict descrescătoare pe 1,1 ,f este strict crescătoare pe 1,  șif este
continuă în0 1x  , obținem că0 1x  este punctul de extrem al funcțieif 2p
2.a) 
 
1 1
2
0 0
11 arctg
ln 2 1 0
f x dx dx x
x x
  
 
 
3parctg1 arctg 0 4

  
2p
b)
Din regula lui l’Hospital,     0
20 0 0
ln 2
lim lim lim
1 1
x
x x x
f t dt f x x
x x  

  

 3pln 2
2p
c)      
1 1 1
2
0 0 0
arctg 1 1 'ln 2 arctg arctg ln 2
2 21
x
f x dx x x dx x x dx
x xx
  
                
  
3p  1
arctg ln 2 arctg1 ln 3 arctg 0 ln 2 ln 3
40
x x       

2p