Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M1 Mate-Info 2020 – testul 16

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 16
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Test 16
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați numărul de elemente ale mulțimii 5 7A x x     .
5p 2. Se consideră funcțiile:f  ,  2 2f x x x a   și:g  ,  2 2 1g x x bx    , undea
șib sunt numere reale. Determinați numerele realea șib , știind că parabolele asociate celor
două funcții au același vârf.
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia3 3
1 1 2x x    .
5p 4. Arătați că nu există nicio mulțime finită care să aibă exact 12 submulțimi cu 2 elemente.
5p 5. În reperul cartezianxOy se consideră punctele 3,4A , 4,3B  și 5,0C . Arătați că punctul 4,7H
este ortocentrul triunghiuluiABC .
5p 6. Calculațicos x , știind că0, 2
x
 
 
  și 4 4
2 cos sin 1x x   .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele3 2 1
6 4 2
9 6 3
A
 
   
 
  ,3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 
   
 
  și3B I A  .
5p a) Arătaţi cădet 0A  .
5p b) Arătaţi că matricea3
1
11
I A este inversa matriceiB .
5p c) Dați exemplu de trei matrice 3, ,U V T  , de rang 1, astfel încâtU V T B   .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție3 3x y xy x y a     , undea
este număr real.
5p a) Determinați numărul reala pentru care 1 1 0   .
5p b) Determinați numărul reala pentru care legea de compoziție „ ” admite element neutru.
5p c) Demonstrați că, dacă 12,a   , atunci mulțimea 3,  este parte stabilă a lui în raport cu
legea de compoziție „ ”.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia   : 0, 0,1f   ,  1f x x x   .
5p a) Arătaţi că  1 1 1
2 1
f x x x
 
   
  , 0,x   .
5p b) Calculați     
3
lim ' 1 ' 2 '
2
n
n
f f f n

 
    
  .
5p c) Demonstrați că funcțiaf este bijectivă.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 16
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcţia:f  ,  2
4 1
x
f x x
  .
5p a) Arătați că   
1 4
0
1
1 3
x f x dx  .
5p b) Demonstrați că 
1
0 8
f x dx

 .
5p c) Se consideră primitivaF a luif pentru care 1 0F  . Calculați 
1
0
F x dx .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 16
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 3
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Test 16
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
 Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.3 5 2     și2 7 3  , deci 2, 1,0,1, 2A    3p
MulțimeaA are 5 elemente 2p
2. Parabolele asociate celor două funcții au același vârf, deci2 2
2 2
b
  și2
4 4 4 4
4 4
a b 
 3p1b 
, deci3a  2p
3. 3 3 3 3
1 1 3 1 1 1 1 8x x x x x x            și, cum3 3
1 1 2x x    , obținem3 3
2 6 1 1 8x x      3p  3 1 1 1x x  
, deci0x  , care convine 2p
4. Numărul de submulțimi cu 2 elemente ale unei mulțimi cun elemente,2n  , este egal cu 2 1
2
n
n n
C 

2p  21 12 24 0
2
n n n n
     
, care nu are nicio soluție număr natural 3p
5.3AHm  și1 1
3
BC AH BCm m m      , deciAH BC 2p1
2
BHm 
și2 1AC BH ACm m m      , deciBH AC și, cum AH BH H  ,
obținem căH este ortocentrul triunghiuluiABC
3p
6.  2 2 2 2
2 cos sin cos sin 1x x x x    , deci 2
2 2cos 1 1x    3p2 1
cos 4
x 
și, cum0, 2
x
 
 
  , obținem1
cos 2
x  2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)3 2 1
det 6 4 2 36 36 36 36 36 36
9 6 3
A        
3p108 108 0  
2p
b)3 3 3 3
30 20 10 1 1 1 10 10
60 40 20 10 11 11 11 11 11
90 60 30
A A A I A B I A A A A I A A I
    
                   
 
3p3 3 3 3
1 1 1 10 10
11 11 11 11 11
B I A I A A A A I A A I
 
           
 
, deci matricea3
1
11
I A este
inversa matriceiB
2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 16
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 3
c)
Considerăm4 2 1
0 0 0
0 0 0
U
 
 
  
 
  ,0 0 0
6 5 2
0 0 0
V
 
 
  
 
  și0 0 0
0 0 0
9 6 4
T
 
 
  
 
  , pentru carerang 1U  ,rang 1V 
șirang 1T 
3p
Cum4 2 1
6 5 2
9 6 4
U V T
 
 
    
 
  și4 2 1
6 5 2
9 6 4
B
 
 
  
 
  , obținem că matricele 3, ,U V T 
au rangul 1 șiU V T B  
2p
2.a)     1 1 1 1 3 1 3 1 1a a             3p1 0 1a a   
2p
b) Existăe  astfel încâtx e e x x    , pentru orice număr real3 3x xe x e a x     ,
pentru orice număr realx 2p 4 3 0x e e a   
, pentru orice număr real4x e  și12a  3p
c)  3 3 9 9 3 3 9x y xy x y a x y a            , pentru orice numere realex șiy 2p
Pentru orice , 3,x y   ,3 0x   și3 0y   și, cum 12,a   , obținem3x y  ,
deci mulțimea 3,  este parte stabilă a lui în raport cu legea de compoziție „ ” 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)     ' '' 1f x x x    2p1 1 1 1 1
22 1 2 1x x x x
 
    
  
, 0,x   3p
b)      1 1 1 1 1 1 1 1 1
' 1 ' 2 ' 1
2 21 1 1 2 1 2 1 1
f f f n n n n
   
              
       ,
pentru orice număr natural nenuln
2p     
3 3 1 1 1
lim ' 1 ' 2 ' lim lim 1
2 2 22 1 2 1
n nn
n n n
f f f n n n  
    
              
      12 1 2 1
21
lim 1 2 1
n
n n
n
e e
n
 

 
        
 
3p
c) Pentru orice 0,x   ,1 0x x   , deci1 1 0
1x x
  
  0f x f   este
strict descrescătoare pe 0,  , decif este injectivă
2p 
0
lim 1
x
f x


, lim 0
x
f x

 ,f monotonă și continuă pe 0,  , deci Im 0,1f f 
este surjectivă, de unde obținem căf este bijectivă 3p
2.a)   
1 1 3
4 2
0 0
1
1 3 0
x
x f x dx x dx    
3p1 1
0
3 3
  
2p
b)  2
0,1x x x  
, deci   
   
21 1 1 12 2
4 4 22
0 0 0 0
' 11 1 arctg
2 21 1 01
xx x
f x dx dx dx dx x
x x x
    
  
    3p1 1 1
arctg1 arctg 0
2 2 2 4 8
 
    
2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 16
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 3 din 3
c)         
1 1 1 1 3
4
0 0 0 0
1
' 1 10
x
F x dx x F x dx xF x x f x dx F dx
x
     

   
3p   
41 4
4
0
' 111 1 1
ln 1 ln 2
4 4 41 0
x dx x
x

      


2p