Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M1 Mate-Info 2020 – testul 15

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 15
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Test 15
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați numărul complexz , pentru care3z z .
5p 2. Se consideră funcția:f  ,  2f x x a  , undea este număr real. Determinați numărul reala
, știind că numerele 0f , 2f și 1f sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia   2
3 3log log 2 2x x x    .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea 0,1, 2, ,9A  , pătratul acestui
număr să aparțină mulțimiiA .
5p 5. Se consideră puncteleA ,B ,C șiD , astfel încât0AB CD  . Demonstrați că0AD CB  .
5p 6. Se consideră triunghiul ascuțitunghicABC cuBC R , undeR este raza cercului circumscris
triunghiului. Calculați măsura unghiuluiA al triunghiuluiABC .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele3
0 0 0
0 0 0
0 0 0
O
 
 
  
 
  ,3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 
 
  
 
  și 
1 0
0 1
0 0 1
a
A a a
 
 
  
 
  , undea este număr
real.
5p a) Arătaţi că  det 1A a  , pentru orice număr reala .
5p b) Se consideră matricea    3B a A a I  , undea este număr real. Demonstrați că, pentru orice
număr reala ,      3B a B a B a O   .
5p c) Determinați numărul natural nenuln , știind că suma elementelor matriceiX pentru care       2 1 2A X A A A n    
este egală cu21 .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție2 2
4x y x xy y    .
5p a) Arătați că1 2 13  .
5p b) Determinați numerele realex pentru care  2 61x x x   .
5p c) Demonstrați că există o infinitate de numere iraționalea pentru care numărul1a  este natural.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția:f  ,  2
3
3
x
f x
x


 .
5p a) Arătați că   
 2 2
3 1
3 3
x
f x
x x

 
  ,x  .
5p b) Calculați  lim x
x
f x
 .
5p c) Demonstrați că5 10
2 3 3x x   , pentru orice număr realx .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 15
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcţia : 0,f   ,  2 lnf x x x  .
5p a) Arătați că  
3
1
26
ln 3
f x x dx  .
5p b) Calculați  
2 2
1
f x x dx .
5p c) Arătați că2 2
1
1 1 3 4ln 2
8
f dx
x x
   
 
 .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 15
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 3
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Test 15
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
 Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 3 2 4 0a ib a ib a ib      , undez a ib  ,,a b  3p0a 
și0b  , deci0z  2p
2.         22 2 2
2 0 1 4 2 8 16 2f f f a a a a a a a          2p6 16a  
, deci8
3
a   3p
3.2 2
2 2 2 0x x x x x        2p1x  
, care convine, sau2x  , care nu convine 3p
4. Mulțimea 0,1, 2, ,9A  are10 elemente, deci sunt10 cazuri posibile 2p
Numerele din mulțimeaA al căror pătrat aparține mulțimiiA sunt 0, 1, 2 și 3, deci sunt4
cazuri favorabile 2pnr. cazuri favorabile 4 2
nr. cazuri posibile 10 5
p   
1p
5.AD CB AB BD CD DB      2p0AB CD BD BD AB CD      
3p
6.2 sin
sin 2
BC BC
R A
A R
   2p1
sin 2
BC R A  
și, cumABC este ascuțitunghic , obținem  30m A   3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)  
1 0
det 0 1 1 0 0 0 0 0
0 0 1
a
A a a       
3p1 0 1  
, pentru orice număr reala 2p
b)     
2
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
a a
B a a B a B a
     
         
   
, pentru orice număr reala 3p     
2
3
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
a a
B a B a B a a O
    
    
        
    
    
, pentru orice număr reala 2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 15
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 3
c)     
 
 
1 0
2 1
1 2 0 2
0 0
n n
n
n n
A A A n n
n
  
 
       
 
 
 
, pentru orice număr natural nenuln și, cum det 2 0A 
,   1
1 2 4
2 0 1 2
0 0 1
A 
 
 
  
 
  , obținem că   
 
1 2 4 1
2 1
0 2
2
0 0
n n
n n n n n
n n
X n n
n
  
   
   
 
 
 
 
3p
Suma elementelor matriceiX este egală cu3n , deci3 21 7n n   , care convine 2p
2.a)2 2
1 2 1 4 1 2 2       3p1 8 4 13   
2p
b)2 2 2
4 6x x x x x x x      ,   2 2 2 4 4 4 4
6 36 24 61x x x x x x x x x        3p4
61 61 1x x   
sau1x  2p
c) 22 2
1 4 1 4 4 3 2 3x x x x x x           , pentru orice număr realx 2p
De exemplu, pentru2a p  , undep este număr prim,3p  , obținem că\a  și1 3a p   
, deci există o infinitate de numere iraționalea pentru care numărul1a 
este natural
3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) 
 2
2
2
1 3 3
3
3
x
x x
xf x x
    
  

3p 
 
 
2 2
2 2 2 2
3 13 3
3 3 3 3
xx x x
x x x x
  
 
   
,x  2p
b)   2 2 2
2 22
3 6 9 6 6
lim lim lim lim 1
3 33
x xx
x
x x x x
x x x x
f x x xx   
       
                 
3p 
 
2
2 22 2
2
6 6
6 6
33 32 3 2 1
6 6 6 6 3
2 2
6 6 6 6
lim 1 lim 1
3 3
x
x x x
x xx x
x x x
x x
x x e
x x
 
   
     
    
 
   
       
          
       
   
2p
c)  0f x  , pentru orice , 1x f    este descrescătoare pe , 1  și  0f x  ,
pentru orice 1,x f    este crescătoare pe 1,  și, cum 1 2f    , obținem
că  2f x   , pentru orice număr realx
3p2 2
3 2 3 2 3 3x x x x       
, pentru orice număr realx , deci5 10
2 3 3x x   ,
pentru orice număr realx 2p
2.a)  
3 3 3
2
1 1
3
ln 3 1
x
f x x dx x dx    
3p27 1 26
3 3 3
  
2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 15
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 3 din 3
b)  
2 2 2
2
1 1 1
2 1
ln ln 1
f x x dx x dx x x x dx
x
       
3p2
2ln 2 2ln 2 2 1 2ln 2 1
1
x      
2p
c)2 2 2 2
3 2
2
1 1 1
21 1 1 1 1 1 1
ln ln ln
2 2 1
x
f dx dx x x dx x
x x x x xx

      
                   
  
3p2
2 2 21 1 1 1 3 1 3 4ln 2
ln 2 ln 1 ln 2
8 2 2 2 8 2 8

       
2p