Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M1 Mate-Info 2020 – testul 14

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 14
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Test 14
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că numerele3log 5 ,2 și5log 9 sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.
5p 2. Se consideră o funcție:f  . Demonstrați că funcția:g  ,     g x f x f x   este
impară.
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia1
23 3 1 3
x
x 
   .
5p 4. Determinați termenul care îl conține pe10
x din dezvoltarea20
3
3
1
x x
 
 
  , unde*
x  .
5p 5. În planul triunghiuluiABC se consideră punctulG , astfel încât3AG AB AC  . Demonstrați căG
este centrul de greutate al triunghiuluiABC .
5p 6. Determinați 0,x
 , știind căsin 2 3sin 2cos 3 0x x x    .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele3 1 1
1 1 0
1 0 1
A
  
 
  
   și 
1 1 1
1 1
1 1
M m m
m
 
 
  
 
  , undem este număr real.
5p a) Arătați cădet 1A  .
5p b) Demonstrați că, pentru orice număr realm , rangul matricei M m este diferit de2 .
5p c) Determinați numărul realm ,1m  , știind că inversa matricei M m este matriceaA .
2. Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compoziție1 2 1 2 1 2z z z z z z   .
5p a) Arătați că   1 2 6i i i    .
5p b) Demonstrați că numărulz z este număr real, pentru orice număr complexz .
5p c) Determinați numerele complexez pentru care2z z   .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția:f  ,  2
2
1
ln 1
x x
f x x x
 
   .
5p a) Arătați că    
  2 2
2 1 1
1 1
x x
f x x x x x
 
      ,x  .
5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre la graficul funcțieif .
5p c) Calculați      lim 1 2 2ln
n
f f f n n

    .
2. Se consideră funcţia:f  ,  2 1
x
x
f x e

 .
5p a) Arătați că 
1
0
4
3
x
e f x dx  .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 14
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
5p b) Calculați 
1
0
f x dx .
5p c) Determinați numerele realea șib , știind că funcția:F  ,   2x
F x e x ax b
    este o
primitivă a funcțieif .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 14
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Test 14
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 3 5 3 5log 5 log 9 log 5 2log 3 2     3p2
2
, deci numerele3log 5 ,2 și5log 9 sunt termeni consecutivi ai unei progresii
geometrice 2p
2.          g x f x f x f x f x          2p      f x f x g x     
, deci funcțiag este impară 3p
3. 23
3 1 3 3 1 3 3 3 0
3
x x x
x
         2p  3 1 3 3 0x x
  
, de unde obținem0x  sau1
2
x  3p
4.    10
3 20 60203 3 3
1 20 20 203
1 k kk kkk k k
kT C x C x C x
x

  

 
   
 
, unde 0,1, 2, , 20k  3p10
60 10 15
3
k k   
, deci15 10
16 20T C x îl conține pe10
x 2p
5.3 3 2AG AG GB AG GC AG AG GB GC        2p0 0AG GB GC AG BG CG      
, deciG este centrul de greutate alABC 3p
6.      sin 2cos 3 2cos 3 0 sin 1 2cos 3 0x x x x x        2p
Cum2cos 3 0x   și 0,x
 , obținem2
x

 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)3 1 1
det 1 1 0 3 0 0 1 0 1
1 0 1
A
 
        

3p3 2 1  
2p
b)    2
det 1M m m  , pentru orice număr realm 2p
Dacă1m  , matricea 
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
M
 
 
  
 
  are rangul1 , iar dacă1m  , atunci  det 0M m 
și matricea M m are rangul 3, deci, pentru orice număr realm , rangul matricei M m
este diferit de2
3p
c)  3
1 0 0 1 0 0
2 1 0 0 1 0
2 0 1 0 0 1
M m A I m m
m m
   
   
        
       
3p
Obținem2m  , care convine 2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 14
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2.a)      1 2 1 2 1 2i i i i i i          3p2
3 2 2 6i i i i      
2p
b) Dacăz a ib  , undea șib sunt numere reale, atunci  z z a ib a ib a ib a ib        3p2 2
2a a b  
, care este număr real, pentru orice număr complexz 2p
c)2 2
2 2 2 2 0z z z z       2p4  
, deci1z i   sau1z i   3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)       
 
2 22
2 22
2 1 1 2 1 11
1 1
x x x x x xx x
f x x x x x
       
   
   
3p     
  
2
2 2 2 2
2 1 12 2
1 1 1 1
x xx
x x x x x x x x
 
 
       
,x  2p
b) 
2
2 2 2
2 2
22
1 1 1 1
1 1
1
lim lim ln lim ln lim ln ln1 0
1 11 11 11
x x x x
x
x x x xx xf x x x x xx xx
       
 
           
      
 
3p
Dreapta de ecuație0y  este asimptotă orizontală spre la graficul funcţieif 2p
c)      2
2
1 3 7 1
1 2 2ln ln ln ln ln 2ln
3 7 13 1
n n
f f f n n n
n n
 
          
    
2 2
2 2
2 2 2
1 3 7 1 1
ln ln ln ln ln
3 7 13 1 1 1
n n n
n n
n n n n n n
  
                
, pentru orice
număr natural nenuln
3p       2
2
lim 1 2 2ln lim ln ln1 0
1n n
n
f f f n n n n 
      
 
2p
2.a)   
1 1 3
2
0 0
1
1 3 0
x x
e f x dx x dx x
 
      
 
 
3p1 4
1 0
3 3
   
2p
b)       
1 1 1
2 2
0 0 0
1 1
1 1 2 2 1 2 1
0 0
x x x x
f x dx x e dx x e xe dx e x e            
3p 2 1 0 2 2 3e e      
2p
c)F este primitivă a lui         2 2
' 2 1x x x
f F x f x e x ax b e x a e x  
            ,
pentru orice număr realx
2p 2 2
2 1x a x a b x     
, pentru orice număr real2x a   și3b   3p