Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M1 Mate-Info 2020 – testul 13

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 13
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Test 13
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinaţi rația progresiei geometrice  1n n
b  , știind că1 2b  și3 24 8b b   .
5p 2. Se consideră funcția:f  , f x x m  , undem este număr real. Determinați numărul
realm , știind că punctul  1 ,1A f aparține graficului funcțieif .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia2 1 1
1
x x
x
  
 .
5p 4. Determinați numărul numerelor naturale de trei cifre care au proprietatea că pătratul cifrei zecilor
este egal cu diferența dintre cifra unităților și cifra sutelor.
5p 5. În reperul cartezianxOy se consideră punctele 0,1A și 3, 2H . Știind căH este ortocentrul
triunghiuluiABC , determinați panta drepteiBC .
5p 6. Determinați 0,x
 , știind căsin cos 2x x  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea 
 
2
2
1 1 1
1
1 1 1
A m m m
m m
 
 
  
 
    , undem este număr real.
5p a) Arătați că  det 0 0A  .
5p b) Determinați mulțimea valorilor reale ale luim pentru care matricea A m este inversabilă.
5p c) În reperul cartezianxOy se consideră punctele necoliniare 1,1A , 2
,B m m și  2
1, 1C m m  ,
undem este număr real. Determinați numerele realem , știind că triunghiulABC are aria egală cu1 .
2. Pe mulțimea 0,G   se definește legea de compozițieln ln
2 x y
x y 
  .
5p a) Arătați că1 1x   , pentru oricex G .
5p b) Determinațif G , știind căf este elementul neutru al legii de compoziție „ ”.
5p c) Determinațix G pentru care1 1
2
x x
  .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia : 0,f   ,   ln 1x
f x x e x    .
5p a) Arătaţi că  2' 1x
xf x e x
   , 0,x   .
5p b) Demonstrați că dreapta de ecuație0y  este asimptotă orizontală spre la graficul funcțieif .
5p c) Determinați imaginea funcțieif .
2. Se consideră funcţia:f  ,  2
11
1
f x
x
 
 .
5p a) Arătați că   
1
0
1 ln 1 2f x dx    .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 13
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
5p b) Calculați 
1
1
x f x dx

 .
5p c) Arătați că 
0 0
1lim 2
x
x
f t dt
x
 .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 13
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Test 13
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
 Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.2 1 2b b q q  și2 2
3 1 2b b q q  , undeq este rația progresiei geometrice  1n n
b  2p2 4 4 0q q  
, deci2q  3p
2.  1 ,1A f aparține graficului funcției  1 1f f f  2p 1 1 2 1 1f m m    
, deci0m  3p
3.2 2 2
1 1 1 0x x x      sau2 1 1x   2p2x  
, care nu convine, sau1x   , care nu convine, sau1x  , care nu convine, sau2x 
, care convine 3p
4.2
b c a  , undeabc sunt numerele cu proprietatea dată și, cum9c  și1a  , obținem2 8b 
, deci 0,1, 2b  2p
Pentru0b  , obținemc a , deci sunt9 numere, pentru1b  , obținem1c a  , deci sunt8
numere, iar pentru2b  , obținem4c a  , deci sunt5 numere; în total sunt22 de
numere cu proprietatea cerută
3p
5. Panta drepteiAH este1
3
AHm  2pH
este ortocentrulABC , deci1AH BCAH BC m m     , de unde obținem3BCm   3p
6. 2 2 2
sin cos 2 sin cos 2 sin 2sin cos cos 2x x x x x x x x         2p2sin cos 1x x  
, decisin 2 1x   și, cum 0,x
 , obținem3
2 2
x

 , deci3
4
x

 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)    
1 1 1 1 1 1
0 0 0 1 det 0 0 0 1
1 1 1 1 1 1
A A
 
 
    
 
 
2p0 0 1 0 1 0 0      
3p
b)    
 2
2
1 1 1
det 1 1
1 1 1
A m m m m m
m m
  
 
, pentru orice număr realm 2p
Matricea A m este inversabilă  det 0A m  , deci \ 0,1m  3p
c)1
2
ABC  
, unde 
 2
2
1 1 11
1 1 1
1 1 1 1
A A
B B
C C
x y
x y m m m m
x y m m
    
  2p 1 1 2ABC m m    
, deci2 2m m   , care nu convine, sau2 2m m  , de unde
obținem1m   sau2m  , care convin 3p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 13
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2.a)ln ln1
1 2 x
x 
   3pln 0 0
2 2 1x
  
, pentru oricex G 2p
b)ln ln
2 ln ln ln 2 lnx f
x f x x x f x
        , pentru oricex G , deciln ln 2 1f   , de
unde obținem1
ln ln 2
f  , deci1
ln 2f e G 
3p1
ln 2
1 1 ln
ln lnln 2 ln 22 2 x
e x
e x x


   
, pentru oricex G , deci1
ln 2f e este elementul neutru al
legii de compoziție „ ”
2p
c)2
1
ln ln ln1 2 2
x xxx x
 
  
, pentru oricex G 2p2
ln 21
2 ln 1
2
x x   
, de unde obținemln 1x   sau1
ln 1x x e
   saux e , care convin 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)  1' 1 1
x
x
ef x e x
  
  3p1 1 2
1 1
x x
x x
e x e x
e x e x
     
   
, 0,x   2p
b)    lim lim ln ln 1 lim ln 1
x
x x
xx x x
e
f x e e x e x  
     
  2p1
lim ln ln1 0
1
1
x
x
x
e

  


, deci dreapta de ecuație0y  este asimptotă orizontală spre
la graficul funcțieif
3p
c) ' 0 2f x x   , ' 0f x  , pentru orice 0, 2x f  este descrescătoare pe 0, 2 și ' 0f x 
, pentru orice 2,x f   este crescătoare pe 2,  2p 
0
lim
x
f x

 
,   2
2 2 ln 1f e   , lim 0
x
f x

 șif este continuă pe 0,  , deci
imaginea funcțieif este  2
2 ln 1 ,e   

3p
2.a)   
1 1 2
2
0 0
11
1 ln 1 01
f x dx dx x x x
x
                
 
3p   1 ln 1 2 ln1 1 ln 1 2      
2p
b) 
1 0 1 2 2
2 2
2 2
1 1 0
0 11 1
1 1 1 1
2 21 01 1
x x
x f x dx x dx x dx x x
x x 
       
                                  
  
3p1 1
0 1 2 2 1 2 2 1
2 2
        
2p
c)
Din regula lui l’Hospital,   0
0 0
lim lim 1
x
x x
f t dt f x
x 
 
 3p20
1
lim 1 2
1x x
 
   
 
 
2p