Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M1 Mate-Info 2020 – testul 12

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 12
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Test 12
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că numărul   
2 2
5 13 5 13N     este pătratul unui număr natural.
5p 2. Se consideră funcția:f  , f x x a  , undea este număr real. Determinați numărul reala
, știind că    1 1 1f f f  .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia1
4 4 4x x
  .
5p 4. Determinați numărul numerelor naturale de trei cifre distincte care se pot forma cu elementele
mulțimii 0,5,7A  .
5p 5. Se consideră punctulG , centrul de greutate al triunghiuluiABC și punctulM , mijlocul
segmentuluiAG . Demonstrați că6AM AB AC  .
5p 6. Calculați măsura unghiuluiA al triunghiului ascuțitunghicABC , știind că4 ABC AB AC   .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea 
3 2 1
2 2 1
4 3
A a
a a a
 
 
  
    , undea este număr real.
5p a) Arătaţi că  det 0 15A   .
5p b) Determinați numărul reala pentru care rangul matricei A a nu este egal cu 3.
5p c) Demonstrați că matricea       1 1 1 1M A A A A        are toate elementele numere întregi,
divizibile cu 25.
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă3 33 2020x y x y    .
5p a) Arătați că  3 2020x x   , pentru orice număr realx .
5p b) Determinați numerele realex pentru care    3
1 2021x x    .
5p c) Demonstrați că, pentru orice număr reala , există un unic număr realx pentru carex x x a   .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia:f  ,  3 2
6 9 5f x x x x    .
5p a) Arătaţi că    3 1 3f x x x    ,x  .
5p b) Determinaţi intervalele de monotonie a funcțieif .
5p c) Demonstrați că funcțiaf este concavă pe , 2 .
2. Se consideră funcţia:f  ,  2
2 3
3 5
x
f x
x x


  .
5p a) Arătați că 
1 2
0
3 5 4f x x x dx    .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 12
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
5p b) Calculați 
1
4
f x dx

 .
5p c) Arătați că 
2
0
cos sin 6 2 5x f x dx

  .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 12
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Test 12
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
 Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.5 2 5 13 13 5 2 5 13 13N            3p2
36 6 
2p
2.      1 1 1 1 1 1 3 2 1f f f f a a a          3p1
3
a  
2p
3. 224
4 4 4 4 4 4 0 4 2 0
4
x x x x
x
          3p2
2 2x 
, deci1
2
x  2p
4. Cifra sutelor se poate alege în 2 moduri și pentru fiecare alegere a cifrei sutelor, cifra zecilor
se poate alege în 2 moduri 2p
Pentru fiecare alegere a cifrei sutelor și a cifrei zecilor, cifra unităților se poate alege într-un
singur mod, deci se pot forma2 2 1 4   numere cu proprietatea cerută 3p
5.2AB AC AD  , undeD este mijlocul segmentuluiBC 2pG
este centrul de greutate al triunghiuluiABC , deci2
3
AG AD și, cum1
2
AM AG ,
obținem6AM AB AC 
3p
6.sin
2
ABC
AB AC A

 
 , deci1
sin 2
A  3p
CumABC este ascuțitunghic, obținem  30m A   2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)    
3 2 1 3 2 1
0 2 2 1 det 0 2 2 1
4 3 0 4 3 0
A A
  
 
      
 
 
2p 0 6 8 8 9 0 15        
3p
b)    
3 2 1
det 2 2 1 15 1
4 3
A a a
a a a

    
 
, pentru orice număr reala 2p
Rangul matricei A a nu este egal cu  3 det 0A a  , deci1a   3p
c)   
3 2 1 3 2 1 10 0 0
1 1 2 2 1 2 2 1 5 10 5 5
3 2 1 3 2 1 10 0 0
A A B
     
    
           
         
, unde2 0 0
1 2 1
2 0 0
B
 
 
  
 
  3p2
5M B B 
și, cum matriceaB B are toate elementele numere întregi, obținem că
matriceaM are toate elementele numere întregi, divizibile cu 25 2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 12
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2.a)   333 2020x x x x       3p3 3 3 3
2020 2020x x   
, pentru orice număr realx 2p
b)     3 33 231 1 2020 3 3 2021x x x x x x          , deci2
3 3 2021 2021x x   3p 3 1 0x x  
, deci1x   sau0x  2p
c)3
3 3 3 3 3 4040
3 4040 3 4040 3
a
x a x a x 
       3p
Pentru orice număr reala , ecuația3
3 4040
3
a
x 
 are o singură soluție reală3
3 4040
3
a
x 
 ,
deci există un unic număr realx pentru carex x x a  
2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)  2
3 12 9f x x x     3p    2
3 4 3 3 1 3x x x x     
,x  2p
b) ' 0 1f x x   sau3x  2p  0f x 
, pentru orice ,1x f   este crescătoare pe ,1 ,  0f x  , pentru
orice 1,3x f  este descrescătoare pe 1,3 și  0f x  , pentru orice 3,x f  
este crescătoare pe 3, 
3p
c) " 6 12f x x  ,x  3p
Cum " 0f x  , pentru orice , 2x   , obținem că funcțiaf este concavă pe , 2 2p
2.a)     
1 1
2 2
0 0
1
3 5 2 3 3
0
f x x x dx x dx x x        
3p1 3 0 4   
2p
b)   21 1 1 2
2 2
4 4 4
' 13 52 3 2 3 5
43 5 3 5
x xx
f x dx dx dx x x
x x x x  
 
     
   
  
3p2 9 2 9 0  
2p
c) DacăF este o primitivă a luif , atunci        'sin ' sin sin ' sin cosF x F x x f x x    ,
pentru orice număr realx 3p          
2 2 2
0 0
' 2cos sin sin sin 1 0 2 1 3 1 5 2 5 6 2 5
0
x f x dx F x dx F x F F



           
2p