Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M1 Mate-Info 2020 – testul 11

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 11
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Test 11
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că    1
7 6 1 6 7 1 7 6
     .
5p 2. Se consideră funcțiile:f  ,  2 1f x x x   și:g  ,  2 2g x x  . Demonstrați că     1f x f x g x  
, pentru orice număr realx .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia2
1 2 1x x x    .
5p 4. Se consideră mulțimea 1, 2,3, 4,5M  . Determinați numărul de submulțimi ale luiM care au cel
puțin trei elemente.
5p 5. În reperul cartezianxOy se consideră trapezulABCD cuAB CD și 1, 2A , 4,5B și 3, 2D  .
Determinați ecuația drepteiMN , știind că segmentulMN este linia mijlocie a trapezuluiABCD .
5p 6. Calculațisin 2x , știind că 2 2
2sin cos 2 3sinx x x   .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea 
1 2
1 1
a
A a a i a
a
 
 
  
    , unde2 1i   șia este număr real.
5p a) Arătaţi că  det 0A i .
5p b) Demonstrați că, pentru orice număr reala , matricea A a este inversabilă.
5p c) Calculați       
 de 2020 ori 0
0 0 0 0
A
A A A A    .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție1 1
3 3 3 12x y x y
x y   
     .
5p a) Arătați că1 3x   , pentru orice număr realx .
5p b) Determinați numărul realx pentru care0 9x   .
5p c) Demonstrați că, dacă3x y  , atunci  1 1 0x y   .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia:f  ,   2 2
ln 1f x x x   .
5p a) Arătaţi că  3
2
2
1
x
f x x
   ,x  .
5p b) Demonstrați că axaOx este tangentă graficului funcțieif .
5p c) Demonstrați că, pentru orice număr natural nenuln , ecuația f x n are două soluții reale
distincte.
2. Se consideră funcţia : 0,f   ,  x
e
f x x
 .
5p a) Arătați că 
1
1
e
x
f x dx
e  .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 11
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
5p b) Arătați că    22 3 2
1
1 1
2
e e e e
x f x dx   
 .
5p c) Demonstrați că 
1 1
ln
e e x e
f x dx e x dx e   .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 11
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Test 11
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
 Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.   7 6 1 6 7 1 42 7 42 6 7 6         2p
Cum2 2
1 7 6 7 6
7 6 7 6

  
  , obținem că    1
7 6 1 6 7 1 7 6
     3p
2.         2 2
1 1 1 1 1f x f x x x x x           2p 2 2
2 1 1 1 1 2 2x x x x x x g x           
, pentru orice număr realx 3p
3.2 2
1 2 1 3 0x x x x x       3p0x 
, care nu convine, sau3x  , care convine 2p
4. Numărul de submulțimi ale luiM , cu cel puțin trei elemente, este egal cu3 4 5
5 5 5C C C   3p10 5 1 16   
2p
5. 1, 2M  , undeM este mijlocul segmentuluiAD ,1ABm  3p
CumMN este paralelă cuAB , ecuația drepteiMN este2 1y x   , deci3y x  2p
6. 2 2 2 2 2
4sin 4sin cos cos 2 3sin 4sin cos 2 sin cosx x x x x x x x x        3p2sin 2 2 1x  
, deci1
sin 2 2
x  2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)    
1 0 2 1 0 2
0 0 0 det 0 0 0
1 0 1 1 0 1
A i A i
 
 
    
     
2p 0 0 2 0 0i i i        
3p
b)   2
1 2
det
1 1
a
A a a i a a i
a
  
 
, pentru orice număr reala 2p
Cum, pentru orice număr reala ,2 0a i  , obținem că  det 0A a  , deci, pentru orice
număr reala , matricea A a este inversabilă 3p
c)    2 3
1 0 0
0 0 0 0
0 0 1
A A i I
 
 
    
 
 
2p       
 
       
 3
3 3 3 3 3
de 2020 ori 0 de 1010 ori
0 0 0 0
A I
A A A A I I I I I

             
3p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 11
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2.a)1 1 1 1
1 3 3 3 12x x
x   
      3p9 12 3   
, pentru orice număr realx 2p
b)0 0 1 1 1
0 3 3 3 12 3 3 9x x x x
x    
        , deci1
3 3 18x x   3p 3 3 1 18 3 9x x
   
, deci2x  2p
c)      1 1
3 3 3 3 9 0 3 3 3 3 3 3 0 3 3 3 3 0x y x y x y y x y
x y   
                3p3 3 0x  
sau3 3 0y   , deci1x  sau1y  , de unde obținem  1 1 0x y   2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)  2
2
2 1
x
f x x x
   
 3p3 3
2 2
2 2 2 2
1 1
x x x x
x x
 
 
 
,x  2p
b) Ecuația tangentei la graficul funcțieif în  ,A a f a este    'y f a f a x a   , deci
axaOx , de ecuație0y  , este tangentă la graficul funcțieif dacă și numai dacă există
numărul reala astfel încât  0f a  și  0f a 
3p
Cum 0 0f   și 0 0f  , obținem că axaOx este tangentă graficului funcțieif 2p
c) lim
x
f x

  și lim
x
f x

  2pf
este continuă pe ,  0f x  , pentru orice ,0x f   este strict descrescătoare
pe ,0 , 0 0f  și  0f x  , pentru orice 0,x f   este strict crescătoare pe 0, 
, deci, pentru orice număr natural nenuln , ecuația f x n are două soluții reale
distincte
3p
2.a) 
1 1
1 ln 1
e e
x
ef x dx dx x
xe    
3pln ln1 1e  
2p
b)  2 2
2 2
3 2
1 1
21
2 1
x x
x f x dx xe dx e   
3p  24 1 1
2 2
e e e ee e   
 
2p
c) 
1 1 1 1 1 1
'ln ln ln ln ln ln
1
e e e e e ex x x x x x x
ee dx e x dx x e dx e x dx e x e x dx e x dx
x            
3p1
ln ln1e e
e e e e  
2p