Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M1 Mate-Info 2020 – testul 10

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 10
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Test 10
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați partea reală a numărului complex    3 2 3 2 4z i i i     .
5p 2. Se consideră funcțiile:f  ,  3 2f x x  și:g  ,  2 3g x x  . Calculați  2f g
.
5p 3. Rezolvați în mulţimea numerelor reale ecuaţia3 6
2 16x  .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta
să aibă produsul cifrelor un număr impar.
5p 5. Se consideră paralelogramulABCD cu6AD  ,4AB  și  120m ADC   . Determinați
modulul vectoruluiv AB AD  .
5p 6. Se consideră triunghiulABC cu60AB  ,80AC  și100BC  . Calculați lungimea înălțimiiAD
a triunghiuluiABC .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea 
2 1 1 2
1 1 1
2 2 1
a
A a a
a
  
    
   și sistemul de ecuații 
 
2 1 2
1 1
2 2 1
a x y z a
a x y z a
ax y z
   
     
    ,
undea este număr real.
5p a) Arătaţi că  det 1 1A  .
5p b) Determinați numărul reala pentru care matricea A a nu este inversabilă.
5p c) Determinați numărul reala pentru care există0y și0z , numere reale, astfel încât 0 02, ,y z să fie
soluție a sistemului de ecuații.
2. Pe mulțimea 0,G   se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru23 log y
x y x 
.
5p a) Arătați că2 64 4  .
5p b) Arătați că legea de compoziție „ ” este comutativă.
5p c) Determinațix G care sunt egale cu simetricele lor în raport cu legea de compoziție „ ”.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția:f  ,      5 4 3 2 1f x x x x x      .
5p a) Arătați că 5 6f   .
5p b) Calculați 
 
1 1
lim 1
n
n
f n
f n
  
 
  .
5p c) Demonstrați că ecuația ' 0f x  are trei soluții reale.
2. Se consideră funcţia:f  ,  1
1
x
x
e
f x e

  .
5p a) Determinați primitivaG a funcției:g  ,     1 x
g x e f x  pentru care 0 0G  .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 10
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
5p b) Calculați 
1
0
f x dx .
5p c) Demonstrați că 
1
1
cos 0f x xdx

 .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 10
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Test 10
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
 Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.      22
3 2 3 2 4 3 2 4 9z i i i i i i           2p
Partea reală a numărului complexz este egală cu9 3p
2. 2 1g  2p     2 2 3 1 2 5f g f g    
3p
3.6
432 2 2 4
x
x   3p2x 
2p
4. Mulțimea numerelor naturale de trei cifre are900 de elemente, deci sunt900 de cazuri
posibile 2p
Mulțimea numerelor naturale de trei cifre care au produsul cifrelor un număr impar are5 5 5 125  
de elemente, deci sunt125 de cazuri favorabile 2pnr. cazuri favorabile 125 5
nr. cazuri posibile 900 36
p   
1p
5.ABCD este paralelogram, deciv AB AD AC   2p 2 2 2 2 cos 2 19AC AD DC AD DC ADC AC       
3p
6.2 2 2
BC AB AC ABC    este dreptunghic înA 2p48
AB AC
AD BC

 
3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)    
3 1 2 3 1 2
1 0 1 1 det 1 0 1 1
2 2 1 2 2 1
A A
  
 
      
   
2p 3 0 2 4 6 0 1        
3p
b)  det 3 2A a a  , pentru orice număr reala 2p
Matricea A a nu este inversabilă  det 0A a  , deci2
3
a  3p
c) Dacă2
3
a  , sistemul de ecuații este incompatibil 1p
Dacă2
3
a  , atunci  det 0A a  , deci sistemul de ecuații este compatibil determinat și,
cum există0y și0z astfel încât 0 02, ,y z este soluție a sistemului de ecuații, obținem 2 2 1 2
3 2
a
a
 
 3p3a 
, care convine 1p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 10
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2.a)23 log 64
2 64 2   3p3 6 2
2 2 4  
2p
b) 2 2 22
2 2
1 11
log log loglog3 log log3 332 2
y x yyy x
x y x x      2p 2 2 22
2
1 11
log log logloglog3 332 2
y x xxy y y x    
, pentru orice,x y G , deci legea de
compoziție „ ” este comutativă
3p
c)8 8x x x    , pentru orice8x G e   este elementul neutru al legii de compoziție „ ” 1p   2 2 2log log3 3
2 2 28 8 log log 8 log 9x x
x x x x x       
2p2log 3x  
sau2log 3x  , deci1
8
x  sau8x  , care convin 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)            '' 4 3 2 5 4 3 2f x x x x x x x x         ,x  3p     ' 5 5 4 5 3 5 2 0 6f      
2p
b) 
 
    
    
1 1 4 3 2 1 1
1 5 4 3 2 5
f n n n n n n
f n n n n n n
      
 
      , unden  ,6n  2p 
 
4
5 5
4 41 1 4 4
lim lim 1 lim 1
1 5 5
n
n nn n
n n n
f n e
f n n n
 
  
 
                           
3p
c)       2 3 4 5 1f f f f    2pf
este derivabilă, deci, conform teoremei lui Rolle pe 2,3 , 3,4 și 4,5 , ecuația ' 0f x 
are o soluție reală în fiecare dintre intervalele 2,3 , 3,4 și 4,5 3p
2.a)         1 1x x x x
g x e f x e g x dx x e G x x e c            , undec  3p 0 0G 
, deci1c  , de unde obținem:G  ,  1x
G x x e   2p
b)    
1 1 1
0 0 0
11 2
1 2ln 1
1 1 0
x x x
x x
e e
f x dx dx dx x e
e e
 
          
  
3p  2
1 2ln 1 2ln 2 1 2ln 1
e e
      
2p
c)         
1 1 1 1
1 1 1 1
1
cos cos 1 cos cos
1
x
x
e
f x xdx f x x dx f x xdx xdx
e
 

  

        

    
1 1 1
1 1 1
1 1
cos cos cos
1 1
x x
x x
e e
xdx xdx f x xdx
e e  
 
    
 
  
3p 
1
1
2 cos 0f x xdx


, deci 
1
1
cos 0f x xdx

 2p