Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M1 Mate-Info 2020 – 5 iunie 2020, testul 20

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 20
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Test 20
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că numărul   2 3 2 3A z i z i    este real, pentru orice număr complexz , undez este
conjugatul luiz .
5p 2. Se consideră:f  ,  2 6 7f x x x   . Arătați că       2 1 2 2 2 10 2 0f f f f        .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 1lg 2 1 lg 2
xx x     .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
produsul cifrelor sale să fie mai mare decât51 .
5p 5. În reperul cartezianxOy se consideră punctele 4,6A , 3. 1B   și 2, 2C   . Arătați că punctul 1,2M
este centrul cercului circumscris triunghiuluiABC .
5p 6. Se considerăR , raza cercului circumscris triunghiuluiABC șir , raza cercului înscris în triunghiulABC
. Știind că1
sin sin sinA B C rR
   , arătați că aria triunghiuluiABC este egală cu1 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea 
2 1
4 1
1 1
m
A m m
m

 
 
 
 
 
  și sistemul de ecuații2 4
4 6
1
x y mz
x y mz
x my z
  
   
     , undem
este număr real.
5p a) Arătați că  det 20A  .
5p b) Determinați mulțimea valorilor reale ale luim pentru care matricea A m este inversabilă.
5p c) Demonstrați că, pentru orice \ 1,1m   , soluția 0 0 0, ,x y z a sistemului de ecuații verifică
relația0 0
0
y x
z  .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție2 2
1 1x y x y y x     .
5p a) Arătați că 2 2 0   .
5p b) Verificați dacă0e  este elementul neutru al legii de compoziție „ ”.
5p c) Se consideră funcția:f  ,  2 1
2
x
x
e
f x e

 . Arătați că     f x f y f x y   , pentru orice
numere realex șiy .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția:f  ,  2 1
x
e
f x
x

 .
5p a) Arătați că   
 
2
2 2
1
1 1
x
e x x
f x
x x
 
 
  ,x  .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 20
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
5p b) Calculați   
0
lim
x
f x f x
x
  .
5p c) Determinați imaginea funcțieif .
2. Se consideră funcţia:f  ,  2
1
4
f x x
  .
5p a) Arătați că 
2
0 8
f x dx

 .
5p b) Pentru fiecare număr naturaln , considerăm numărul 
1
0
n
nI f x dx  . Arătați călim 0n
n
I

 .
5p c) Determinați numărul reala ,0a  , pentru care 
0
1 5
ln
2 4
a
x f x dx  .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 20
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Test 20
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
 Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. Cum2 3 2 3i i   , 2 3 2 3A z i z i      2p   2 3 2 3z i z i    
, deoarece este suma dintre un număr complex și conjugatul său 3p
2.     
2
3 2 3 2 6 3 2 7 9 6 2 2 18 6 2 7 9 2 18 7f                  3p0
, deci       2 1 2 2 2 10 2 0f f f f        2p
3.   2 2 21lg 2 lg 10 2 5 5 4 3 0
2
xx x x x x x x             3p1x 
, care nu convine, sau3x  , care convine 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are90 de elemente, deci sunt90 de cazuri
posibile 2p
Numerele naturale de două cifre care au produsul cifrelor mai mare decât51 sunt69 ,96 ,78
,87 ,79 ,97 ,88 ,89 ,98 și99 , deci sunt10 cazuri favorabile 2pnr. cazuri favorabile 10 1
nr. cazuri posibile 90 9
p   
1p
5.5AM  ,5BM  ,5CM  3pAM BM CM 
, deci punctulM este centrul cercului circumscrisABC 2p
6.1
2 sin sin sin
sin sin sin 2 2 2 2
AB AC BC BC AC AB AB AC BC
R A B C
C B A R R R R rR
 
           3p1
p r

și, cumS
r p
 , obținem1S  2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)    
2 1 0 2 1 0
0 4 1 0 det 0 4 1 0
1 0 1 1 0 1
A A
 
   
 



 
 
2p 2 0 0 0 4 0 2        
3p
b)     det 2 1 1A m m m   , pentru orice număr realm 3p
Matricea A m este inversabilă    det 0 \ 1,1A m m     2p
c)    \ 1,1 det 0m A m    , deci sistemul de ecuații are soluția2 2
1, ,
1 1m m
 
 
   , unde \ 1,1m   3p0 0
0
2
1 1
2
1
y m x
z
m
  

, pentru orice \ 1,1m   2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 20
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2.a)     2 2
2 2 2 2 1 2 2 1           3p2 5 2 5 0  
2p
b)2 2
0 0 1 0 1 1x x x x x        , pentru orice număr realx 2p2 2
0 0 1 0 1 1x x x x x       
, pentru orice număr realx , deci0e  este elementul
neutru al legii de compoziție „ ” 3p
c)           
2 22 2 2 2
2 2 1 1 1 1
1 1 1 1
2 2 2 2
x y y x
x y y x
e e e e
f x f y f x f y f y f x e e e e
      
               
   
2p 
 
2 2 22 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2
x yx y y x x y y x
x y y x x y y x x y
e e e e e e e e e f x y
e e e e e e e e e


           
              
   
,
pentru orice numere realex șiy
3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) 
2
2
2
1
1
1
x x x
e x e
xf x x
  
  

3p 
 
 
 
2 2
2 2 2 2
1 1
1 1 1 1
x x x
e x xe e x x
x x x x
   
 
   
,x  2p
b)   
2 20 0 0
1
lim lim lim
1 1
x x x x
x x x
f x f x e e e e
x xx x x
 
  
    
   
 
  
2p
Cum 
0 0 0
'
lim lim lim 2
' 1
x xx x x x
x x x
e ee e e e
x x
 
  
 
   , obținem   
0
lim 2
x
f x f x
x
   3p
c)  0f x  , pentru orice număr realx f este strict crescătoare 2p lim 0
x
f x


, lim
x
f x

  șif este continuă, deci Im 0,f   3p
2.a) 
2 2
2
0 0
21 1 arctg
2 24 0
x
f x dx dx
x
  

 
3p1 1 1
arctg1 arctg 0
2 2 2 4 8
 
    
2p
b)2
1 1
0 44x
 

, deci2
1 1
0 4 4
n
n
x
 
  
  , pentru orice 0,1x  și orice număr naturaln ,
deci1 1
2
0 0
1 1
0 4 4
n
n
dx dx
x
 
  
 
  , de unde obținem1
0 4
n n
I  , pentru orice număr naturaln
3p
Cum1
lim 0
4nn
 , obținemlim 0n
n
I

 2p
c)       
2 2
2 2
2 2
0 0 0
'41 1 1 1 1 4
ln 4 ln 4 ln 4 ln
2 2 2 2 2 44 4 0
a a a axx a
x f x dx dx dx x a
x x
 
       
 
  
3p2 21 4 1 5
ln ln 4 5
2 4 2 4
a a
    
și, cum0a  , obținem1a  2p