Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M1 Mate-Info 2020 – 29 mai 2020, testul 19

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 19
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Test 19
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Se consideră progresia geometrică  1n n
b  cu1 2b  și rația5q  . Calculați partea întreagă a lui4b
.
5p 2. Se consideră funcția bijectivă:f  ,  2 3f x x  . Determinați abscisa punctului de
intersecție a graficelor funcțiilorf și1
f  .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia   2 2
2 2log 2 1 log 2 1x x x x      .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, suma
cifrelor sale să fie divizibilă cu 11.
5p 5. Se consideră vectoriiu i j  și2v ai j  , undea este număr real. Determinați numărul reala
pentru care2 2 2
u v u v   .
5p 6. Arătați că, dacă0, 2
x
 
 
  astfel încâtsin cos 2 cosx x x  , atunci8
x

 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea 
1 1
2 1 1
1 1 1
m
A m m
m
 
 







 și sistemul de ecuații 
 
1
2 1 2
1 1
mx y z
x m y z
x y m z m
  
    
      ,
undem este număr real.
5p a) Arătați că  det 00A  .
5p b) Demonstrați că, pentru3m   , sistemul de ecuații nu are soluții.
5p c) Demonstrați că, pentru orice număr realm , sistemul de ecuații are cel mult o soluție.
2. Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compoziție1 2 1 2 1 2
1 1
2 2
z z z z z z    ,
undez este conjugatul luiz .
5p a) Arătați că   1 1 1i i   .
5p b) Se consideră 2H bi b   . Arătați căH este parte stabilă a lui în raport cu legea de
compoziție „ ”.
5p c) Se consideră numărul complex0z . Arătați că există o infinitate de numere complexez cu
proprietatea că numărul0z z este real.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția : 1,f   ,  3 3 3 2f x x x   .
5p a) Arătați că    
 233
1 1
3 2
x x
f x
x x
 
 
  , 1,x   .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 19
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
5p b) Calculați 
1
lim 1x
f x
x  .
5p c) Arătați că, pentru orice 0,a   , ecuația f x a are soluție unică.
2. Se consideră funcţia:f  ,   2 2 x
f x x e
  .
5p a) Arătați că 
4
1
27x
e f x dx  .
5p b) Calculați 
1
ln
e
f x dx .
5p c) Arătați că 
0 0
1
lim 2
x
x
f t dt
x
 .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 19
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Test 19
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.33
4 1 2 5 10 5 500b b q     2p484 500 529 22 500 23    
, deci partea întreagă a lui4b este egală cu 22 3p
2.          1 2 3 2 2 3 3f x f x f f x x f x x x x
          3p3x 
2p
3.2 2 2 2
2 2 2
2 1 2 1
log 1 2 2 1 2 2 4
2 2
x x x x x x x x
x x x x
   
        
    3p1x 
, care convine 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are90 de elemente, deci sunt90 de cazuri
posibile 2p
Numerele naturale de două cifre care au suma cifrelor un număr divizibil cu 11 sunt29 ,38
,47 ,56 ,65 ,74 ,83 și92 , deci sunt8 cazuri favorabile 2pnr. cazuri favorabile 8 4
nr. cazuri posibile 90 45
p   
1p
5.   2 2
1 1 1u v a i j u v a         2p
Cum2 2u  și2 2 4v a  , obținem2 2
2 2 2 4a a a     , deci2a  3p
6. 2 2 2 2 2
sin cos 2cos sin 2sin cos cos 2cos sin 2 cos 2x x x x x x x x x x        2ptg 2 1x 
și, cum0, 2
x
 
 
  , obținem2 4
x

 , deci8
x

 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)    
0 1 1 0 1 1
0 2 1 1 det 0 2 1 1
1 1 1 1 1 1
A A
 
   
 



 
2p0 2 1 1 0 2 0      
3p
b)
Dacă3m   și 0 0 0, ,x y z este soluție a sistemului de ecuații, atunci0 0 0
0 0 0
0 0 0
3 1
2 2 2
2 2
x y z
x y z
x y z
   
   
     2p
Prin adunarea celor trei relații, obținem0 1 , ceea ce este imposibil, deci, pentru3m   ,
sistemul de ecuații nu are soluții 3p
c)     3 2
det 2 3 1 3m m m mm mA m      , pentru orice număr realm 1p
Dacă0m  , atunci1
2 2
1
y z
x y z
x y z
 
   
    , care nu are soluții, dacă1m  , atunci1
2 2 2
2 2
x y z
x y z
x y z
  
   
    ,
care nu are soluții
2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Test 19
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2    \ 3,0,1 det 0m A m   
, deci sistemul de ecuații are soluție unică și, cum pentru3m  
, sistemul nu are soluții, obținem că sistemul de ecuații are cel mult o soluție 2p
2.a)       
1 1
1 1 1 1 1 1
2 2
i i i i i i           3p1 1 1 1
2 1
2 2 2 2
i i     
2p
b)1 2 1, 2z z H z bi    și2 2z ci  ,   1 2
1 1
, 2 2 2 2
2 2
b c z z bi ci bi ci           3p 
1 1 3
4 1 1 2
2 2 2
bi ci bi ci b c i H          
, deciH este parte stabilă a lui în raport
cu legea de compoziție „ ”
2p
c) Dacă0z a ib  , cu,a b , pentruz x ib  , undex este număr real oarecare, obținem   0
1 1
2 2
z z a ib x ib a ib x ib        
3p1 1
2 2
a x  
, deci există o infinitate de numere complexez cu proprietatea că numărul0z z
este real
2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)       
1 2
3 3 23 3
' 1
3 2 3 2 3 3
3
f x x x x x x
 
         
 
 
3p 
 
  
 
2
2 23 33 3
3 1 1 11
3 3 2 3 2
x x x
x x x x
  
 
   
, 1,x   2p
b)     
 
23 3
3 31 1 1
1 1
1 23 2
lim lim lim
1 1 1x x x
x x
f x x xx x
x x x  
 
  
  
  
3p3
1
1
2
lim 1x
x
x
x


  

2p
c)  0f x  , pentru orice 1,x f   este strict crescătoare, deci injectivă 2p 
1
lim 0
x
f x


, lim
x
f x

  șif este continuă, deci pentru orice 0,a   , ecuația f x a
are soluție unică 3p
2.a)   
4 4 3
2
1 1
4
2 2
3 1
x x
e f x dx x dx x
 
      
 
 
3p3
4 1
8 2 21 6 27
3 3
      
2p
b)   
2 2 3
ln
1 1 1
ln 2 1 1
ln ln 2 ln 2ln
3 1
e e e
x
ex
f x dx dx x dx x x
xe
  
      
 
  
3p3 31 1 1 7
ln 2ln ln 1 2ln1 2
3 3 3 3
e e      
2p
c)
DacăF este o primitivă a luif , atunci       
0 0 0
0
01
lim lim lim
x
x x x
F x F
f t dt f x
x x  

   2p2
0
2
lim 2xx
x
e

 
3p