Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M4 Pedagogic 2020 – 25 august 2020, varianta 3

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 3
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Varianta 3
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 6 1
96 2
4 6
 
⋅ − =  
 
.
5p 2. Se consideră funcțiile :f →ℝ ℝ , ( ) 3 1f x x= + și :g →ℝ ℝ , ( ) 1g x x= − . Determinați
numărul natural n pentru care ( ) ( ) 0f n g n⋅ = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 5 6 3
3 3x x+ −
= .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
acesta să aibă cifra zecilor egală cu dublul cifrei unităţilor.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele necoliniare ( )1,3A , ( )3,5B și ( )0,C a , unde a
este număr real. Determinați numărul real a , știind că triunghiul ABC este dreptunghic în A .
5p 6. Arătați că 2
3 sin 60 sin 30 4sin 30 1⋅ ° + ° − ° = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă 4 4 12x y xy x y= − + + − .
5p 1. Arătați că 2 3 2= .
5p 2. Arătați că legea de compoziție „  ” este comutativă.
5p 3. Demonstrați că ( )( )4 4 4x y x y= − − − + , pentru orice numere reale x și y .
5p 4. Demonstrați că 4 4x = , pentru orice număr real x .
5p 5. Determinați numerele reale x pentru care x x x= .
5p 6. Se consideră progresia aritmetică ( ) 1n n
a ≥ cu 1 5a = − și rația 3r = . Arătați că 1 2 3 4 4a a a a =   .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricele 1 2
1 1
A  
=  
− 
, 2
1 0
0 1
I  
=  
 
și ( ) 1
0 1
x
B x  
=  
 
, unde x este număr real.
5p 1. Arătați că det 3A = .
5p 2. Arătați că ( ) ( ) ( )1 3 2 2B B B+ = .
5p 3. Arătați că ( )( )det 1B x = , pentru orice număr real x .
5p 4. Arătați că ( ) ( ) ( )B x B y B x y⋅ = + , pentru orice numere reale x și y .
5p 5. Determinați numărul real x pentru care ( ) ( )A B x B x A⋅ = ⋅ .
5p 6. Determinați perechile de numere naturale ( ),m n , pentru care ( ) ( ) ( )2 2 2 2m n m n
B B B +
⋅ = − .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 3
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 3
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 6 1 6 4
96 4 6
4 6 4 6
  −
⋅ − = ⋅ =  
  3p
6 4 2= − = 2p
2. ( )( )3 1 1 0n n+ − = 2p
Cum n este număr natural, obținem 1n = 3p
3. 2 5 6 3 4 8x x x+ = − ⇔ = 3p
2x = 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri
posibile 2p
Numerele naturale de două cifre, care au cifra zecilor egală cu dublul cifrei unităţilor sunt 21,
42 , 63 și 84 , deci sunt 4 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 4 2
nr. cazuri posibile 90 45
p = = = 1p
5. Panta dreptei AB este egală cu 1, panta dreptei AC este egală cu 3 a− 2p
( )1 3 1a⋅ − = − , deci 4a = 3p
6. 3
sin 60 2
° = , 1
sin 30 2
° = 2p
2 3 1 1 3 1
3 sin 60 sin 30 4sin 30 3 4 1 1
2 2 4 2 2
⋅ ° + ° − ° = ⋅ + − ⋅ = + − = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. 2 3 2 3 4 2 4 3 12= − ⋅ + ⋅ + ⋅ − =
 3p
6 8 12 12 2= − + + − = 2p
2. 4 4 12 4 4 12x y xy x y yx y x= − + + − = − + + − =
 2p
y x= 
 , pentru orice numere reale x și y , deci legea de compoziție „ 
 ” este comutativă 3p
3. 4 4 16 4x y xy x y= − + + − + =
 2p
( ) ( ) ( )( )4 4 4 4 4 4 4x y y x y= − − + − + = − − − + , pentru orice numere reale x și y 3p
4. ( )( )4 4 4 4 4x x= − − − + =
 3p
( )4 0 4 4x= − − ⋅ + = , pentru orice număr real x 2p
5. ( )2
4 4x x x= − − +
 , pentru orice număr real x 2p
( ) ( )( )2
4 4 4 3 0x x x x− − + = ⇔ − − = , deci 3x = sau 4x = 3p
6. 4 1 3 5 3 3 4a a r= + = − + ⋅ = 2p
( )1 2 3 4 1 2 3 4 4a a a a a a a= =
 
 
 
 
 
 3p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 3
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. ( )
1 2
det 1 1 1 2
1 1
A = = ⋅ − − ⋅ =
− 3p
1 2 3= + = 2p
2. ( ) ( ) 1 1 1 3 2 4
1 3 0 1 0 1 0 2
B B      
+ = + = =     
      3p
( )
1 2
2 2 2
0 1 B
 
= = 
  2p
3. ( )( ) 1
det 0 1
x
B x = = 2p
1 1 0 1x= ⋅ − ⋅ = , pentru orice număr real x 3p
4. ( ) ( ) 1 1 1
0 1 0 1 0 1
x y x y
B x B y +    
⋅ = = =    
     3p
( )B x y= + , pentru orice numere reale x și y 2p
5. ( ) 1 2
1 1
x
A B x x
+ 
⋅ =  
− − + 
, ( ) 1 2
1 1
x x
B x A − + 
⋅ =  
− 
, pentru orice număr real x 3p
( ) ( ) 0A B x B x A x⋅ = ⋅ ⇔ = 2p
6. ( ) ( )2 2 2 2m n m n
B B +
+ = − , de unde obținem 2 2 2 2 2 2 2 1 3m n m n m n m n+ +
+ = − ⇔ − − + = ,
deci ( )( )2 1 2 1 3m n
− − =
3p
Cum m și n sunt numere naturale, obținem perechile ( )1, 2 și ( )2,1 2p