Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M4 Pedagogic 2020 – 7 iulie 2020, varianta 1

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 1
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Varianta 1
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați rația progresiei geometrice ( ) 1n n
b ≥ , știind că 1 2b = și 4 2b = − .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 6 3f x x x= − + . Arătați că ( ) ( )0 6f f= .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )3log 2 1x − = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }1,2,3,7,8,9A = , acesta să fie mai mic
sau egal cu media aritmetică a elementelor mulțimii A .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră dreptele 1d și 2d de ecuații 3 1y x= − , respectiv 5y ax= + ,
unde a este număr real. Determinați numărul real a , știind că dreptele 1d și 2d sunt perpendiculare.
5p 6. Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A și punctul D AC∈ , piciorul bisectoarei unghiului
B . Știind că BD CD= , arătați că ( ) 30m ACB = °∢ .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie 5x y x ay∗ = + + , unde a este număr
real.
5p 1. Arătați că, pentru orice număr real a , 4 0 9∗ = .
5p 2. Demonstrați că, pentru 1a = , legea de compoziţie „ ∗ ” este asociativă.
5p 3. Determinaţi numărul real a pentru care legea de compoziţie „ ∗ ” este comutativă.
5p 4. Arătați că, dacă legea de compoziţie „ ∗ ” are element neutru, atunci 1a = .
5p 5. Pentru 1a = , determinați numerele reale x pentru care ( ) ( )2 2 15x x x x∗ ∗ ∗ = .
5p 6. Pentru 3a = − , determinați numerele reale x pentru care 4 2 3x x
∗ = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricele 5 4
4 5
A  
=  
 
, 2
1 0
0 1
I  
=  
 
și 2
0 0
0 0
O  
=  
 
.
5p 1. Arătați că det 9A = .
5p 2. Arătaţi că ( )( )2 2 29A I A I O− − = .
5p 3. Se consideră matricea 25B A I= − . Demonstrați că suma elementelor matricei B B⋅ este divizibilă
cu 5
2
5p 4. Determinaţi numerele reale a pentru care ( )2det 0aA I+ = .
5p 5. Determinați numerele reale x și y pentru care A M M A⋅ = ⋅ , unde 1
2
x
M y
 
=  
 
.
5p 6. Demonstrați că ( ) ( )2 2det det 18A xI A xI+ + − ≥ , pentru orice număr real x .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 1
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 1
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 3
4 1b b q= , deci 3
2 2q = − , unde q este rația progresiei geometrice ( ) 1n n
b ≥ 3p
3 1q = − , de unde obținem 1q = − 2p
2. ( )0 3f = 2p
( ) 2
6 6 6 6 3 3f = − ⋅ + = , deci ( ) ( )0 6f f= 3p
3. 2 3x − = 3p
5x = , care convine 2p
4. Mulțimea A are 6 elemente, deci sunt 6 cazuri posibile 2p
Media aritmetică a elementelor mulțimii A este 1 2 3 7 8 9 5
6
am + + + + +
= = , deci sunt 3
cazuri favorabile
2p
nr. cazuri favorabile 3 1
nr. cazuri posibile 6 2
p = = = 1p
5. 1 3dm = , 2dm a= 2p
1d și 2d sunt perpendiculare 1 2 1 3 1d dm m a⇔ ⋅ = − ⇔ = − , de unde obținem 1
3
a = − 3p
6. BDC∆ este isoscel, deci ( ) ( ) ( )
1
2
m ACB m DBC m ABC= =∢ ∢ ∢ 3p
( ) ( ) 90m ABC m ACB+ = °∢ ∢ , deci ( ) 30m ACB = °∢ 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. 4 0 4 0 5a∗ = + ⋅ + = 3p
4 5 9= + = , pentru orice număr real a 2p
2. 5x y x y∗ = + + , deci ( ) ( )5 5 5 10x y z x y z x y z x y z∗ ∗ = + + ∗ = + + + + = + + + , pentru
orice numere reale x , y și z 3p
( ) ( ) ( )5 5 5 10x y z x y z x y z x y z x y z∗ ∗ = ∗ + + = + + + + = + + + = ∗ ∗ , pentru orice numere
reale x , y și z , deci legea de compoziţie „ ∗ ” este asociativă 2p
3. x y y x∗ = ∗ , deci 5 5x ay y ax+ + = + + , pentru orice numere reale x și y 2p
( )( )1 0a x y− − = , pentru orice numere reale x și y , de unde obținem 1a = 3p
4. Dacă e este elementul neutru, atunci 0 0 0 5 0e e a∗ = ⇒ + ⋅ + = , de unde obținem 5e = − 2p
( )0 5 0 5 5 0a∗ − = ⇒ − + = , de unde obținem 1a = 3p
5. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2
5 5 5 5 5 2 2 15x x x x x x x x x x x x x x∗ ∗ ∗ = + + ∗ + + = + + + + + + = + + , pentru
orice număr real x
2p
( )2
2 2 15 15 2 1 0x x x x+ + = ⇔ + = , de unde obținem 1x = − sau 0x = 3p
6. Pentru 3a = − obținem 3 5x y x y∗ = − + , deci ecuația devine 4 3 2 2 0x x
− ⋅ + = 2p
( )( )2 1 2 2 0x x
− − = , de unde obținem 0x = sau 1x = 3p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 1
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. 5 4
det 5 5 4 4
4 5
A = = ⋅ − ⋅ = 3p
25 16 9= − = 2p
2.
2
4 4
4 4
A I  
− =  
 
, 2
4 4
9 4 4
A I − 
− =  
−  2p
( )( )2 2 2
4 4 4 4 0 0
9 4 4 4 4 0 0
A I A I O
−    
− − = = =    
−     3p
3.
2
0 4
5 4 0
B A I  
= − =  
 
, 16 0
0 16
B B  
⋅ =  
  3p
Suma elementelor matricei B B⋅ este egală cu 5
16 16 32 2+ = = , deci este divizibilă cu 5
2 2p
4. ( ) 2
2 2
5 1 4 det 9 10 1
4 5 1
a a
aA I aA I a a
a a
+ 
+ = ⇒ + = + + 
+ 
, pentru orice număr real a 3p
2
9 10 1 0 1a a a+ + = ⇔ = − sau 1
9
a = − 2p
5. 5 4 13
4 5 14
x y
A M x y
+ 
⋅ =  
+ 
, 5 4 4 5
5 8 4 10
x x
M A y y
+ + 
⋅ =  
+ + 
, unde x și y sunt numere reale 2p
5 4 13 5 4 4 5
4 5 14 5 8 4 10
x y x x
x y y y
+ + +   
=   
+ + +   
, de unde obținem 2x = și 1y = 3p
6.
2
5 4
4 5
x
A xI x
+ 
+ =  
+ 
, 2
5 4
4 5
x
A xI x
− 
− =  
− 
, pentru orice număr real x 2p
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
2 2det det 5 16 5 16 2 18 18A xI A xI x x x+ + − = + − + − − = + ≥ , pentru orice număr
real x 3p