Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M3 Tehnologic 2020 – 25 august 2020, varianta 3

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 3
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate
calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 3
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 1 1 399
10 10
2 2 4
  
+ − =  
   .
5p 2. Determinați abscisa punctului de intersecție a graficelor funcțiilor :f →ℝ ℝ , ( ) 2 1f x x= + și
:g →ℝ ℝ , ( ) 10g x x= − .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )2
7log 13 2x + = .
5p 4. După o ieftinire cu 20% , preţul unei tablete este 800 de lei. Determinați prețul tabletei înainte de
ieftinire.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,1A şi ( )2,7B . Punctul M este mijlocul
segmentului AB . Calculați lungimea segmentului AM .
5p 6. Arătați că 2 2
2sin 30 sin 45 0° − ° = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 1 1
1 1
a
A a a
+ 
=  
− 
, unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 0 2A = − .
5p b) Arătați că ( ) ( ) ( )2 22A a A a a I⋅ − = − , pentru orice număr real a , unde 2
1 0
0 1
I  
=  
 
.
5p c) Determinați matricea ( )2X ∈ ℝM , știind că ( ) ( )1 2A X A⋅ = .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 2 1x y x xy x y∗ = + − − + .
5p a) Arătaţi că 3 2 11∗ = .
5p b) Demonstrați că ( ) 1x x∗ − = , pentru orice număr real x .
5p c) Determinați numărul real x pentru care 2 4 1x ∗ = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2
2
2 3
2 2
x x
f x x x
+ +
= + + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
( )22
2 1
'
2 2
x
f x
x x
− +
=
+ +
, x ∈ ℝ .
5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f .
5p c) Determinați imaginea funcției f .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2
2
4
x
f x
x
+
=
+
.
5p a) Arătaţi că ( )
1 2
0
5
4 2
f x x dx+ =∫ .
5p b) Arătaţi că ( )( )
1 2
0
5
1 2ln 4
f x dx− =∫ .
5p c) Determinați :F →ℝ ℝ , primitiva lui f pentru care ( )0 0F = .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 3
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 3
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 1 1
10 10 100
2 2 4
  
+ − = − =  
   3p
400 1 399
4 4
−
= = 2p
2. ( ) ( ) 2 1 10f x g x x x= ⇔ + = − 3p
3 9 3x x= ⇒ = 2p
3. 2 2 2
13 7 36 0x x+ = ⇒ − = 3p
6x = − sau 6x = , care convin 2p
4. 20 800
100
p p− ⋅ = , unde p este prețul tabletei înainte de ieftinire 3p
1000p = de lei 2p
5. 6AB = 2p
3
2
AB
AM = = 3p
6. 1
sin 30 2
° = , 2
sin 45 2
° = 2p
22
2 2 1 2 1 2
2sin 30 sin 45 2 2 0
2 2 4 4
  
° − ° = ⋅ − = ⋅ − =       
3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( ) ( )
1 1 1 1
0 det 0 1 1 1 1
1 1 1 1
A A
 
= ⇒ = = ⋅ − − ⋅ = 
− −  3p
1 1 2= − − = − 2p
b)
( ) ( ) 2
2
1 1 1 1 2 0
1 1 1 1 0 2
a a a
A a A a a a a
 + − + −     ⋅ − = ⋅ = =     − − −    − 
3p
( ) ( )2 2 2
1 0
2 2
0 1
a a I
 
= − = − 
 
, pentru orice număr real a 2p
c) ( ) ( )( )
2 1
1 det 1 1 0
1 0
A A
 
= ⇒ = − ≠ 
 
, deci există ( )( ) 1 0 1
1 1 2
A −  
=  
−  3p
( ) ( )1 0 1 3 1 1 1
1 2 1 2 1 1 1 1
X A A X X−     
= ⋅ ⇒ = ⇒ =    
− −     2p
2.a) 2
3 2 3 3 2 3 2 1∗ = + ⋅ − − + = 3p
9 6 3 2 1 11= + − − + = 2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 3
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
b) ( ) ( ) ( )2 1x x x x x x x∗ − = + ⋅ − − − − + = 3p
2 2 1 1x x x x= − − + + = , pentru orice număr real x 2p
c) ( )( )2 2
2 4 2 2 4 1 1 2 3 2 4 0 2 4 2 1 0x x x x x x x
+ ⋅ − − + = ⇔ + ⋅ − = ⇔ + − = 3p
2 1x = , de unde obținem 0x = 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( ) ( )( )
( )
2 2
22
2 2 2 2 2 3 2 2
'
2 2
x x x x x x
f x
x x
+ + + − + + +
= =
+ +
3p
( )( )
( )
( )
( )
2 2
2 22 2
2 2 2 2 2 3 2 1
2 2 2 2
x x x x x x
x x x x
+ + + − − − − +
= =
+ + + +
, x ∈ ℝ 2p
b)
( )
2
2 2
2 2
2
2 3
1
2 3
lim lim lim 1
2 22 2 1
x x x
x
x x x xf x x x x x x
→+∞ →+∞ →+∞
 
+ + + +  = = =
 + + + + 
 
3p
Dreapta de ecuație 1y = este asimptotă orizontală spre +∞ la graficul funcției f 2p
c) ( )' 0 1f x x= ⇔ = − ; pentru ( ], 1x ∈ −∞ − , ( )' 0f x ≥ , deci f este crescătoare pe ( ], 1−∞ − și
pentru [ )1,x ∈ − +∞ , ( )' 0f x ≤ , deci f este descrescătoare pe [ )1,− +∞ 3p
( )lim 1
x
f x
→−∞
= , ( )1 2f − = , ( )lim 1
x
f x
→+∞
= , f este continuă și ( ) 1f x ≠ , pentru orice număr
real x , deci ( ]Im 1, 2f = 2p
2.a)
( ) ( )
1 1
2
0 0
4 2f x x dx x dx+ = + =∫ ∫ 2p
2 1 5
2
2 20
x x
 
= + =  
 
3p
b)
( )( )
1 1 12
2
2 2
0 0 0
4 4 4
1 1
4 4
x x x
f x dx dx dx
x x
 + +
− = − = =  + + 
∫ ∫ ∫ 2p
( )2 1 5
2ln 4 2ln 5 2ln 4 2ln 40
x= + = − = 3p
c)
( ) ( ) ( )2 2
2 2
0 0 0
2 4 2ln 4 04 4
x x x xt
F x f t dt dt dt t t t
t t
 = = + = + + + + = 
 + +
∫ ∫ ∫ 3p
( )2 2
4 2ln 4 2 2ln 2x x x= + + + + − − , x ∈ ℝ 2p