Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M3 Tehnologic 2020 – 7 iulie 2020, varianta 1

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 1
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 1
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )5 1 2 5 5 10+ − = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 3 1f x x x= − + . Arătați că ( ) ( )1 2f f= .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )2
5 5log 21 log 4x − = .
5p 4. După o scumpire cu 10% , un obiect costă 220 de lei. Determinaţi prețul inițial al obiectului.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )4,8A şi ( )0, 4B . Știind că punctul M este
mijlocul segmentului AB , determinați coordonatele punctului M .
5p 6. În triunghiul ABC , ( ) ( ) 60m B m C= = °∢ ∢ . Calculați cosinusul unghiului A .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 1 6
1 4
A  
=  
− − 
, 1 2
2 4
B  
=  
 
și 2
0 0
0 0
O  
=  
 
.
5p a) Arătați că det 2A = .
5p b) Arătați că 2B A B O⋅ + = .
5p c) Determinați numerele naturale n pentru care ( )det det detB nA B n A+ = + .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 2 1x y x y= + + .
5p a) Arătaţi că ( )1 1 0− = .
5p b) Demonstrați că 1
2
x x
 
− = 
 
 , pentru orice număr real x .
5p c) Arătați că legea de compoziție „  ” nu admite element neutru.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2
2
2
1
x
f x x
+
= + .
5p a) Arătaţi că ( )
( )22
2
'
1
x
f x
x
−
=
+
, x ∈ ℝ .
5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f .
5p c) Demonstrați că ( ) ( )2 5
ln 1 2
f x x+ + < , pentru orice [ ]0,1x ∈ .
2. Se consideră funcţia ( ): 1,f − +∞ → ℝ , ( ) 1
x
e
f x x
= + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
2 2
0
1 1x f x dx e+ = −∫ .
5p b) Arătați că ( )
( )
1
0
' 1 ln 2
f x dx
f x = −∫ .
5p c) Arătați că ( ) ( )
1 1
0 0
ln 1 ln 2x
f x dx e x dx e+ + =∫ ∫ .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 1
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 1
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )5 1 2 5 5 5 2 5 5 5+ − = + ⋅ − = 3p
2 5 10= ⋅ = 2p
2. ( ) 2
1 1 3 1 1 1f = − ⋅ + = − 2p
( ) 2
2 2 3 2 1 1f = − ⋅ + = − , deci ( ) ( )1 2f f= 3p
3. 2 2
21 4 25 0x x− = ⇒ − = 3p
5x = − sau 5x = , care convin 2p
4. 10 220
100
x x+ ⋅ = , unde x este prețul inițial al obiectului 3p
200x = de lei 2p
5. 2
2
A B
M
x x
x +
= = 3p
6
2
A B
M
y y
y +
= = 2p
6. ( ) 180 60 60 60m A = ° − ° − ° = °∢ 3p
1
cos 2
A = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )
1 6
det 1 4 1 6
1 4
A = = ⋅ − − − ⋅ =
− − 3p
4 6 2= − + = 2p
b) 1 2 1 2
2 4 2 4
B A − −   
⋅ = = −   
− −    3p
B A B⋅ = − , deci 2B A B O⋅ + = 2p
c) ( ) 21 2 6 1 2 6
det 2 10
2 4 4 2 4 4
n n n n
B nA B nA n n
n n n n
+ + + + 
+ = ⇒ + = = − 
− − − − 
, pentru orice număr
natural n
2p
Cum det 0B = , obținem 2
2 10 2n n n− = , deci 0n = sau 6n = , care convin 3p
2.a) ( ) ( )1 1 1 2 1 1− = + − + = 3p
1 2 1 0= − + = 2p
b) 1 1
2 1
2 2
x x
   
− = + ⋅ − + =   
   
 3p
( )1 1x x= + − + = , pentru orice număr real x 2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 1
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
c) Presupunem că legea de compoziție „  ” admite elementul neutru 0 0 0e e e⇒ = =  3p
1
0 0 2 1 0 2
e e e= ⇔ + = ⇔ = − , 0 0 1 0 1e e e= ⇔ + = ⇔ = − , contradicție, deci legea de
compoziție „  ” nu admite element neutru
2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( ) ( )
( )
2 2
22
2 1 2 2
1
x x x x
f x
x
+ − +
′ = =
+
3p
( )
( ) ( )
2 2
2 22 2
2 1 2 2
1 1
x x x x
x x
+ − − −
= =
+ +
, x ∈ ℝ 2p
b)
( )
2
2 2
2 2
2
2
1
2
lim lim lim 1
11 1
x x x
x
x xf x x x x
→ +∞ → +∞ → +∞
 
+ +  = = =
 + + 
 
3p
Dreapta de ecuație 1y = este asimptotă orizontală spre +∞ la graficul funcţiei f 2p
c) Dacă [ ]: 0,1g → ℝ , ( ) ( ) ( )2
ln 1g x f x x= + + , atunci ( )
( ) ( )
3
2 2 22 2
2 2 2
' 0
11 1
x x x
g x xx x
−
= + = ≥
++ +
,
pentru orice [ ]0,1x ∈ , deci g este crescătoare pe [ ] ( ) ( )0,1 1g x g⇒ ≤ , pentru orice [ ]0,1x ∈
3p
Cum ( ) 3 3 5
1 ln 2 1
2 2 2
g = + < + = , obținem ( ) 5
2
g x < , deci ( ) ( )2 5
ln 1 2
f x x+ + < , pentru orice
[ ]0,1x ∈
2p
2.a)
( ) ( ) ( )
2 2 2
0 0 0
2
1 1 1 0
x x xe
x f x dx x dx e dx e
x
+ = + ⋅ = = =
+∫ ∫ ∫ 3p
2 0 2 1e e e= − = − 2p
b) ( )
( ) ( )
1
0
1 1' ln ln 10 0
xf x e
dx f x
f x x
= = =
+∫ 3p
ln 1 ln 2
2
e
= = − 2p
c)
( ) ( )( ) ( )
1 1 1 1
0 0 0 0
ln 1 ln 1 ' ln 1
1
x x x xe dx e x dx e x dx e x dx
x + + = + + + =
+∫ ∫ ∫ ∫ 3p
( ) ( ) ( )
1 1
0 0
1
ln 1 ln 1 ln 1 ln 2
0
x x x
e x e x dx e x dx e= + − + + + =∫ ∫ 2p