Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M3 Tehnologic 2020 – 24 iunie 2020, varianta 6

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 6
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 6
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )3 2 3 1 3 6+ − = .
5p 2. Se consideră funcția : ,f →ℝ ℝ ( ) 2 4 2f x x x= − + . Determinați numerele reale a pentru care
( ) 2f a = .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 1 3x − = .
5p 4. După o ieftinire cu 10% , un obiect costă 180 de lei. Determinați prețul inițial al obiectului.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )4,1A , ( )4,1B − şi ( )0, 4C . Determinaţi
lungimea înălțimii din vârful C în triunghiul ABC .
5p 6. Arătați că 1
3 sin 60 2 cos 45 2
⋅ ° − ⋅ ° = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 20
1 3
A 
= 
 
 
și 2
1 0
0 1
I  
=  
 
.
5p a) Arătați că det 2A = .
5p b) Arătați că 23 2A A A I− ⋅ = .
5p c) Determinați numărul real x pentru care ( )( )2 2 25xA I xA I A I− − = − .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție ( )( )2 2
1 1x y x x y y= + + + + .
5p a) Arătaţi că ( )3 1 10− = .
5p b) Demonstrați că legea de compoziție „  ” este comutativă.
5p c) Demonstrați că 1 2x ≥ , pentru orice număr real x .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) ( )1 lnf x x x= − .
5p a) Arătați că ( ) 1
' 1 lnf x x
x
= − + , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 1x = , situat pe graficul
funcţiei f .
5p c) Demonstrați că funcția f este descrescătoare pe intervalul ( ]0,1 .
2. Se consideră funcția :f → ℝR , ( ) 2 2
2
1 1 1
x
f x x x
= + −
+ + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
1 2
0
1
1 6
x f x dx+ = −∫ .
5p b) Determinaţi primitiva F a funcției f pentru care ( )0 0F = .
5p c) Arătați că ( )
2
1
1 5
ln 2
f x f dx
x
  
+ =  
  
∫ .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 6
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 6
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )3 2 3 1 3 2 3 3 3 3+ − = ⋅ + − = 3p
2 3 6= ⋅ = 2p
2. 2 2
4 2 2 4 0a a a a− + = ⇔ − = 3p
0a = sau 4a = 2p
3. 1 9x − = 3p
10x = , care convine 2p
4. 10 180
100
x x− ⋅ = , unde x este prețul inițial al obiectului 3p
200x = de lei 2p
5. AB BC CD= ⇒ este înălțime în ABC∆ , unde ( )0,1D este mijlocul segmentului AB 3p
3CD = 2p
6. 3
sin 60 2
° = , 2
cos 45 2
° = 2p
3 2 3 2 1
3 sin 60 2 cos 45 3 2
2 2 2 2 2
⋅ ° − ⋅ ° = ⋅ − ⋅ = − = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 3 1 2 3 0
0
1
det 2
A = = ⋅ − ⋅ = 3p
2 0 2= − = 2p
b) 1 9
0 4
A A  
⋅ =  
  2p
2
3 9 1 9 2 0 1 0
3 2 2
0 6 0 4 0 2 0 1
A A A I
       
− ⋅ = − = = =       
        3p
c)
2
1 3
0 2 1
x x
xA I x
− 
− =  
− 
, ( )( ) ( )
( )
2 2
2 2 2
1 9 6
0 2 1
x x x
xA I xA I
x
 − −
 − − =  − 
, 2
4 15
5 0 9
A I  
− =  
  3p
Cum ( )2
1 4x − = , 2
9 6 15x x− = și ( )2
2 1 9x − = , obținem 1x = − 2p
2.a) ( ) ( )( ) ( )22
3 1 3 3 1 1 1 1− = + + − + + − =
 3p
9 4 0 1 10= + ⋅ + = 2p
b) ( )( )2 2
1 1x y x x y y= + + + + =
 2p
( )( )2 2
1 1y y x x y x= + + + + = 
 , pentru orice numere reale x și y , deci legea de compoziție
„ 
 ” este comutativă 3p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 6
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
c) ( )2 2 2
1 2 1 1 2 1 2x x x x x= + + + = + + + =
 3p
( )2
1 2 2x= + + ≥ , pentru orice număr real x 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )( )' 1 'ln 1 ln 'f x x x x x= − + − = 3p
( ) 1 1
ln 1 1 lnx x x
x x
= + − ⋅ = − + , ( )0,x ∈ +∞ 2p
b) ( )1 0f = , ( )' 1 0f = 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )1 ' 1 1y f f x− = − , adică 0y = 3p
c) ( ]0,1 ln 0x x∈ ⇒ ≤ și 1
1 0
x
− ≤ 3p
( ) 0f x′ ≤ , pentru orice număr real ( ]0,1x ∈ , deci f este descrescătoare pe ( ]0,1 2p
2.a)
( ) ( ) ( )
1 1 3 2
2 2
0 0
1
1 1 2 3 2 0
x x
x f x dx x x dx x
 
+ = + + − = + − =  
 
∫ ∫ 3p
1 1 1
1
3 2 6
= + − = − 2p
b)
( ) ( ) ( )2
2 2
0 0
2 1
1 ln 1 2arctg
21 1 0
x x xt
F x f t dt dt t t t
t t
   
= = + − = + + − =    + + 
∫ ∫ 3p
( )21 ln 1 2arctg
2
x x x= + + − , x ∈ ℝ 2p
c) ( ) 2
1 2
1
x
f x f x x
 
+ = 
  + , pentru orice număr real x , 0x ≠ 2p
( ) ( )
2 2 2
2
1 1
21 2 5
ln 1 ln 21 1
x
f x f dx dx x
x x
  
+ = = + =  
  + 
∫ ∫ 3p