Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2020 – 25 august 2020, varianta 3

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinaţi primul termen al progresiei aritmetice ( ) 1n n
a ≥ , știind că 2 3a = și 3 5a = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 1f x x= − . Determinaţi numărul natural n pentru care
( ) 3f n = .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 9 1x x− = − .
5p 4. Determinaţi numărul de submulțimi cu trei elemente ale mulțimii { }1, 2,3, 4 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,1M , ( )3,3N , ( )4,3P și ( )1,Q a , unde a este
număr real. Determinați numărul real a , pentru care patrulaterul MNPQ este trapez cu bazele MN
și PQ .
5p 6. Calculaţi lungimea ipotenuzei BC a triunghiului dreptunghic ABC , în care 5AB = și 1
cos 2
B = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea 0
0
a
A b
 
=  
 
, unde a și b sunt numere reale.
5p a) Arătați că ( ) 2 2
det A A a b⋅ = , pentru orice numere reale a și b .
5p b) Se consideră matricea ( )2X ∈ ℝ
M astfel încât A X X A⋅ = ⋅ . Demonstrați că, dacă a și b sunt
numere reale distincte, atunci există numerele reale x și t astfel încât 0
0
x
X t
 
=  
 
.
5p c) Pentru 4a = și 0b = , determinați matricele ( )2Y ∈ ℝ
M pentru care Y Y A⋅ = .
2. Pe mulţimea [ )0,M = +∞ se defineşte legea de compoziţie 1 1x y x y y x= + + +∗ .
5p a) Arătați că 3 3 12=∗ .
5p b) Demonstrați că 0 0x x x= =∗ ∗ , pentru orice x M∈ .
5p c) Determinați x M∈ pentru care ( )2 2 3 7x x+ =∗ .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 1,f − +∞ → ℝ , ( ) ( )ln 1f x x x= + .
5p a) Arătaţi că ( ) ( )' ln 1 1
x
f x x x
= + + + , ( )1,x ∈ − +∞ .
5p b) Arătați că funcția f este convexă.
5p c) Se consideră funcția ( ]: 1,0g − → ℝ , ( ) ( )1 x
g x x= + . Demonstrați că, dacă ( ]1 2, 1,0x x ∈ − astfel
încât 1 2x x≤ , atunci ( ) ( )1 2g x g x≥ .
2. Se consideră funcţia [ ]: 0,1f → ℝ , ( ) 3
1f x x= − .
5p a) Arătați că ( )
1
0
3
4
f x dx =∫ .
5p b) Arătați că ( )( )
1 32
0
1
12
x f x dx =∫ .
5p c) Demonstrați că ( )( ) ( )( )
1 1
1
0 0
n n
f x dx f x dx
+ ≤∫ ∫ , pentru orice număr natural nenul n .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 3
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 3 2 2r a a= − = 3p
1 2 1a a r= − = 2p
2. ( ) 2 1f n n= − , deci 2 2
1 3 4 0n n− = ⇒ − = 3p
Cum n este număr natural, obținem 2n = 2p
3. ( )22 9 1 2 10x x x− = − ⇒ = 3p
5x = , care convine 2p
4. Numărul de submulțimi cu trei elemente ale mulțimii { }1, 2,3, 4 este egal cu 3
4
4!
3! 1!
C = =
⋅ 3p
4= 2p
5. 1MNm = , 3
3
PQ
a
m −
= 2p
MN PQ
 , de unde obținem 3 3 0MN PQm m a a= ⇔ − = ⇔ = 3p
6. 1 5
cos 2
AB
B BC BC
= ⇔ = 3p
10BC = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 2
2
0
0
a
A A
b
 
 ⋅ =  
 
, pentru orice numere reale a și b 3p
( ) 2 2 2
2
0
det
0
a
A A a b
b
⋅ = = , pentru orice numere reale a și b 2p
b) x y
X z t
 
=  
 
cu , , , ax ay
x y z t A X bz bt
 
∈ ⇒ ⋅ =  
 
ℝ și ax by
X A az bt
 
⋅ =  
  3p
ay by= și az bz= , deci ( ) 0y a b− = și ( ) 0z a b− = și, cum a b≠ , obținem 0y z= = , deci
există numerele reale x și t astfel încât 0
0
x
X t
 
=  
 
2p
c) Y Y A⋅ = , deci ( ) ( )A Y Y Y Y Y Y Y Y A⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ , deci 0
0
Y
α
β
 
=  
 
, unde ,
α β ∈ ℝ 2p
2
2
0
0
Y Y
α
β
 
 ⋅ =  
 
, deci
2
2
0 4 0
0 00
α
β
   
  =      
, de unde obținem 2 4
α = și 2 0
β = , deci
2 0
0 0
Y  
=  
 
sau 2 0
0 0
Y − 
=  
 
, care convin
3p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 3
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
2.a) 3 3 3 3 1 3 3 1= + + + =∗ 3p
3 2 3 2 6 6 12= ⋅ + ⋅ = + = 2p
b) 0 0 1 0 1x x x x= ⋅ + + ⋅ + =∗ , pentru orice x M∈ 2p
0 0 1 0 1x x x x= ⋅ + + ⋅ + =∗ , pentru orice 0 0x M x x x∈ ⇒ = =∗ ∗ , pentru orice x M∈ 3p
c) ( ) ( ) ( )22 2 2 2
2 3 1 3 2 1 7 2 2 3 1 7 2 7 4 0x x x x x x x x x+ + + + + = ⇔ + + + = ⇔ + − = 3p
4x = − , care nu convine, 1
2
x = , care convine 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )( )'' 'ln 1 ln 1f x x x x x= + + + = 3p
( ) ( )
1
1 ln 1 ln 1
1 1
x
x x x
x x
= ⋅ + + ⋅ = + +
+ + , ( )1,x ∈ − +∞ 2p
b) ( ) ( )2
2
''
1
x
f x
x
+
=
+
, ( )1,x ∈ − +∞ 3p
( )'' 0f x > , pentru orice ( )1,x ∈ − +∞ , deci funcția f este convexă 2p
c) ( )ln 1 0x + ≤ și 0
1
x
x ≤
+ , pentru orice ( ]1,0x ∈ − , deci ( )' 0f x ≤ , de unde obținem că f
este descrescătoare pe ( ]1,0−
2p
Pentru orice ( ]1 2, 1,0x x ∈ − cu ( ) ( )1 2 1 2x x f x f x≤ ⇒ ≥ , deci ( ) ( )1 1 2 2ln 1 ln 1x x x x+ ≥ + de
unde obținem ( ) ( )1 2
1 2ln 1 ln 1
x x
x x+ ≥ + , deci ( ) ( )1 2
1 21 1
x x
x x+ ≥ + , adică ( ) ( )1 2g x g x≥ 3p
2.a)
( ) ( )
1 1 4
3
0 0
1
1 4 0
x
f x dx x dx x
 
= − = − =  
 
∫ ∫ 3p
1 3
1 4 4
= − = 2p
b)
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 13 3 432 2 3 3 3 3
0 0 0
1'1 1
1 1 1 1
3 12 0
x f x dx x x dx x x dx x= − = − − − = − − =∫ ∫ ∫ 3p
1 1
0 12 12
 
= − − = 
  2p
c)
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 111 3 3 3 3
0 0 0 0 0
1 1 1
n n nn n
f x dx f x dx x dx x dx x x dx
++ − = − − − = − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ , pentru orice
număr natural nenul n
2p
3 0x ≥ și 3
1 0x− ≥ , pentru orice [ ]0,1x ∈ , deci ( )( ) ( )( )
1 1
1
0 0
0
n n
f x dx f x dx
+ − ≤∫ ∫ , de unde
obținem ( )( ) ( )( )
1 1
1
0 0
n n
f x dx f x dx
+ ≤∫ ∫ , pentru orice număr natural nenul n
3p