Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2020 – 7 iulie 2020, varianta 1

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 2 2 2log 7 log 6 log 21 1+ − = .
5p 2. Se consideră funcțiile :f →ℝ ℝ , ( ) 2
f x x= și :g →ℝ ℝ , ( ) 2 1g x x= − . Demonstrați că
( ) ( )f x g x≥ , pentru orice număr real x .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 12 2x x+ = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr x din mulțimea { }2, 1,0,1, 2A = − − , acesta să fie
soluție a ecuației 2 3 2 0x x− + = .
5p 5. Determinaţi numerele reale a şi b , pentru care 3u v=
  , unde 6u ai j= +
   și 2v i b j= +
   .
5p 6. Se consideră expresia ( ) ( )2 2
sin cos 2 sin cos 2E x x x x x= − + + − , unde x este număr real.
Arătaţi că 0
4
E
π  = 
  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 2 3
3 2
x x
A x x x
+ + 
=  
− − 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 5A x = , pentru orice număr real x .
5p b) Determinați numărul natural n astfel încât ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 1 1 2 3 0A A A A A A nA− + − + − + + + = .
5p c) Determinați numărul real x pentru care ( ) ( ) 1 8
1 4 7
A x A  
⋅ =  
− − 
.
2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie 2 2
1
1
x y
x y x y
+ +
=∗ + + .
5p a) Arătați că 0 1 1=∗ .
5p b) Determinați numerele reale x pentru care 1x x =∗ .
5p c) Demonstrați că ( ) 1x x− ≤∗ , pentru orice număr real x .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 2 2f x x x x= + + .
5p a) Arătaţi că ( ) 2
2
2 3 2
'
2 2
x x
f x
x x
+ +
=
+ +
, x ∈ ℝ .
5p b) Calculați ( )
( )
'
lim
x
f x
f x→+∞
.
5p c) Demonstrați că, pentru orice număr real a , ecuația ( )f x a= are cel puțin o soluție.
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) x
f x xe x= + .
5p a) Arătați că ( )( )
1
0
1
2
x
f x xe dx− =∫ .
5p b) Arătați că ( )
2 4
2
1
1 3
2
e e
f x dx
x
− +
⋅ =∫ .
5p c) Se consideră :F →ℝ ℝ , primitiva funcției f pentru care ( )1 0F = . Arătați că ( )
1
0
5 3
3
e
F x dx −
=∫ .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 1
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 2 2 2
7 6
log 7 log 6 log 21 log 21
⋅
+ − = = 3p
2log 2 1= = 2p
2. ( ) ( ) ( )22 2 1 1f x g x x x x− = − + = − , pentru orice număr real x 3p
( )2
1 0x − ≥ , pentru orice număr real x , deci ( ) ( )f x g x≥ , pentru orice număr real x 2p
3. 2 2 2 2
12 4 3 12 4x x x x+ = ⇒ = ⇔ = 3p
2x = − , care nu convine, 2x = , care convine 2p
4. Mulțimea A are 5 elemente, deci sunt 5 cazuri posibile 2p
2 3 2 0 1x x x− + = ⇔ = sau 2x = , care sunt elemente ale mulțimii A , deci avem 2 cazuri
favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 2
nr. cazuri posibile 5
p = = 1p
5. 3 6 6 3u v ai j i b j= ⇔ + = +

 
 
 
 
 
 3p
6a = , 2b = 2p
6. 2 2 1 1 2 2
sin cos 2 sin cos 2 2 2
4 4 4 4 4 2 2 2 2
E
π
π
π
π π     
= − + + − = − + + − =            3p
2 2
2 2 0
2
= ⋅ − = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( )( ) ( )2 22 3
det 4 9
3 2
x x
A x x x
x x
+ +
= = − − − =
− − 3p
2 2
4 9 5x x= − − + = , pentru orice număr real x 2p
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 2 1 1 2 0A A A A A A A− + = − + = − + = 3p
( ) ( ) ( ) ( )2 0 2 0 2 0 0A A A nA+ + = , de unde obținem 6n = 2p
c) ( ) ( ) ( )
3 4 3 5
1 1
2 1 5 3 10
x x
A A x A x x
+   
= ⇒ ⋅ =   
− − − −   
, pentru orice număr real x 3p
3 5 1 8
5 3 10 4 7
x x
x x
+   
=   
− − − −   
, de unde obținem 1x = 2p
2.a)
2 2
0 1 1
0 1 0 1 1
+ +
= =∗ + + 3p
2 1
2
= = 2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 1
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
b)
2
2 1
2 1
x
x x x
+
=∗ + , pentru orice număr real x 2p
( )2
2 1 1 2 1 0 0
2 1
x x x x
x
+ = ⇔ − = ⇒ =
+ sau 1x = 3p
c) ( ) ( )
( )2 22
1 1
2 11
x x
x x xx x
+ − +
− = =∗ ++ − +
, pentru orice număr real x 2p
( ) 2
2 2
1 2
1 1 0
2 1 2 1
x
x x x x
−
− ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤∗ + + inegalitate adevărată pentru orice număr real x 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 2
2
2 2' 2 2
2 2 2
x
f x x x x
x x
+
= + + + ⋅ =
+ + 3p
2 2 2
2 2
2 2 2 3 2
2 2 2 2
x x x x x x
x x x x
+ + + + + +
= =
+ + + +
, x ∈ ℝ 2p
b) ( )
( )
2 2
3 22 2
' 2 3 2 1 2 3 2
lim lim lim 2 22 2 2 2x x x
f x x x x x
f x x x xx x x x x→+∞ →+∞ →+∞
 + + + +
= ⋅ = = 
  + ++ + + + 
3p
0= 2p
c) ( ) 2
lim lim 2 2
x x
f x x x x
→−∞ →−∞
= + + = −∞ 2p
( ) 2
lim lim 2 2
x x
f x x x x
→+∞ →+∞
= + + = +∞ și, cum f este funcție continuă, obținem că, pentru
orice număr real a , ecuația ( )f x a= are cel puțin o soluție
3p
2.a)
( )( ) ( )
1 1 1
0 0 0
x x x
f x xe dx xe x xe dx x dx− = + − = =∫ ∫ ∫ 2p
2 1 1
2 20
x
= = 3p
b)
( ) 2
2 2
2 2 2 22 2 2
2
1 1 1 1
2 21 1
2 21 1
x x xx e x x
f x dx dx xe dx xdx e
x x
+
⋅ = = + = + =∫ ∫ ∫ ∫ 3p
4
41 1 4 1 3
2 2 2 2 2
e e
e e − +
= − + − = 2p
c)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 2 2
0 0 0 0
1
' 1
0
x
F x dx x F x dx xF x x f x dx F x e x dx= = − = − + =∫ ∫ ∫ ∫ 3p
( ) 3
2 1 1 5 3
2 2 2
3 3 30
x x e
x x e e
  − 
= − − + + = − + − =       
2p