Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2020 – 24 iunie 2020, varianta 6

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 6
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Varianta 6
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Se consideră o progresie aritmetică ( ) 1n n
a ≥ cu 1 2a = și rația 3r = . Calculați 3a .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 1f x x= + . Determinați numerele reale x pentru care
( )2 9f x = .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 2 2
3 3 8x x+ − = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }1,2,3,4,5,6,7,8,9A = , acesta să fie
divizor al lui 100 .
5p 5. Se consideră un punct P în planul paralelogramului ABCD . Arătați că PA PC PB PD+ = +
    .
5p 6. Arătați că sin cos 0
4 4
x x
π
π   
− + + =   
    , pentru orice număr real x .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 12
1 3
a a
A a a a
+ 
=  + + 
, unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 0 36A = .
5p b) Determinați numerele reale a pentru care ( ) ( )( )2det 12 0A a a I− + = , unde 2
1 0
0 1
I  
=  
 
.
5p c) Se consideră matricea ( )2X ∈ ℝ
M cu proprietatea ( )0X X A⋅ = . Arătaţi că cel puţin un element al
matricei X este număr iraţional.
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 3 2x y x y= + − .
5p a) Arătați că 1 1 0= .
5p b) Determinați numărul real a pentru care x a x= , pentru orice număr real x .
5p c) Determinați numerele reale x pentru care 6 4x x = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 1,f +∞ → ℝ , ( ) 2 2
2 1f x x x= − − .
5p a) Arătaţi că ( ) 2
1
' 2 1
1
f x x
x
 
= −  
− 
, ( )1,x ∈ +∞ .
5p b) Calculaţi ( )2
lim
x
x f x
x→+∞
− .
5p c) Demonstraţi că axa Ox este tangentă la graficul funcţiei f .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 2 2
x
f x x x
= + + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
1 2
0
1
2 2 2
x x f x dx+ + =∫ .
5p b) Arătați că ( )
2
2
0
1 1 ln 5
22 2
f x dx
x x
 
+ = 
+ + 
∫ .
5p c) Arătați că ( )
2
1
1 5
2 ln 4
e e
x dx
f x
  +
− =  
 
∫ .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 6
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 6
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 3 1 2 2 2 3a a r= + = + ⋅ = 3p
8= 2p
2. 2 2
2 1 9 4x x+ = ⇔ = 3p
2x = − sau 2x = 2p
3. ( )2 2 2
3 3 1 8 3 1x x
− = ⇔ = 3p
0x = 2p
4. Mulțimea A are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile 2p
Divizorii din mulțimea A ai numărului 100 sunt 1, 2, 4 şi 5 , deci sunt 4 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 4
nr. cazuri posibile 9
p = = 1p
5. ABCD este paralelogram și pentru { }O AC BD= ∩ , obținem ( )1
2
PO PA PC= +



 


 


 3p
( )1
2
PO PB PD= +



 


 


 , deci PA PC PB PD+ = +



 


 


 


 2p
6. sin cos sin cos sin cos cos cos sin sin
4 4 4 4 4 4
x x x x x x
π
π
π π
π
π   
− + + = − + − =   
    2p
2 2 2 2
sin cos cos sin 0
2 2 2 2
x x x x= − + − = , pentru orice număr real x 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( )
12 0 12 0
0 0 12de 3 0
3 1 3
t 1
1
A A= = = ⋅ −
  ⇒ 
  ⋅ = 3p
36 0 36= − = 2p
b) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2
0 0
12 det 12 1
1 9 1 9
a a
A a a I A a a I a a
a a
 
− + = ⇒ − + = = − + + − + −  3p
( )1 0a a+ = , de unde obţinem 0a = sau 1a = − 2p
c) a b
X c d
 
=  
 
, deci ( ) ( )
( )
2
2
12 0
0 1 3
a bc b a d
X X A c a d d bc
 + +  
 ⋅ = ⇔ =   + +   
2p
Din ( ) 0b a d+ = şi ( ) 1c a d+ = , rezultă 0a d+ ≠ și 0b = şi, cum 2 3d bc+ = , obţinem
2 3d = , deci d este număr iraţional
3p
2.a) 3
1 1 1 1 2= + − = 3p
1 1 2 0= + − = 2p
b) 3 2x a x+ − = , pentru orice număr real x 2p
3 2 8a a= ⇔ = 3p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 6
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
c) 3 6 2 4x x+ − = , deci 2 6 0x x+ − = 3p
3x = − sau 2x = 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )2 2
2
2'' 2 1 2 2
2 1
x
f x x x x
x
′ = − − = − ⋅ =
− 3p
2 2
2 1
2 2 1
1 1
x
x x
x x
 
= − = −  
− − 
, ( )1,x ∈ +∞ 2p
b)
( )2 2 2
1
2 1
2 1
lim lim lim
x x x
x
x f x x x
x x x→+∞ →+∞ →+∞
−
− −
= = = 3p
2
1
2 lim 1 2
x x→+∞
= − = 2p
c) ( ) ( ) ( )22 2 4 2 2 2
0 2 1 4 1 2 0 2f x x x x x x x= ⇔ = − ⇔ = − ⇔ − = ⇔ = şi, cum 1x > ,
obţinem 2x =
2p
( )2,0A este punctul de intersecție a graficului funcției f cu axa Ox și, cum panta
tangentei la graficul funcției f în punctul A este ( )' 2 0f = , obținem că axa Ox este
tangentă la graficul funcţiei f
3p
2.a)
( ) ( ) ( )
1 1 1
2 2
2
0 0 0
2 2 2 2 2 2
x
x x f x dx x x dx x dx
x x
+ + = + + = =
+ +
∫ ∫ ∫ 2p
2 1 1
2 20
x
= = 3p
b)
( ) ( )22 2 2
2 2 2
0 0 0
'2 21 1 1
22 2 2 2 2 2
x xx
f x dx dx dx
x x x x x x
+ ++ 
+ = = = 
+ + + + + + 
∫ ∫ ∫ 2p
( )2 21 1
ln 2 2 ln5
2 20
x x= + + = 3p
c)
( ) ( )
2
1 1 1 1 1 1
'1 2 1
2 ln ln ln 2 ln ln 2 ln 'ln
2
e e e e e e
x
xdx x xdx x xdx xdx xdx x xdx
f x x x
    
− = + = + = + =           
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 3p
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
1
1 1 1 5
ln 2 ln ln ln 1 1
2 2 2 2 4 2 4 4 41 1 1
ee e ex x e x e e e
x dx x e
x
+
= − ⋅ + ⋅ = − + − = − + + =∫ 2p