Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M1 Mate-Info 2020 – 25 august 2020, varianta 3

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Se consideră numărul complex 2z i= + . Arătați că 2 4 5 0z z− + = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2
f x x x a= + + , unde a este număr real. Determinați numărul
real a , știind că punctul ( )0, 2M aparține graficului funcției f .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 3 2x x x= + .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de cinci cifre
distincte, formate cu cifre din mulțimea { }1, 2,3, 4,5 , acesta să aibă cifra zecilor egală cu 2 și cifra
unităților egală cu 3 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0,1A , ( )2,3B și ( )4,C a , unde a este un număr
real. Determinați numărul real a , știind că punctul C este situat pe mediatoarea segmentului AB .
5p 6. Măsurile unghiurilor A , B și C ale triunghiului ABC sunt, în această ordine, termeni consecutivi
ai unei progresii aritmetice. Demonstrați că măsura unghiului B este egală cu 3
π .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
1 0 1 ln
0 0
0 0 1
x
A x x
+ 
 
=  
 
 
, unde ( )0,x ∈ +∞ .
5p a) Arătați că ( )( )det 1 1A = .
5p b) Demonstrați că ( ) ( ) ( ) ( )A x A y A y A x= , pentru orice ( ), 0,x y ∈ +∞ .
5p c) Determinați numărul natural n pentru care ( ) ( ) ( )
1 0
1 1 1 2 3 0 1 0
3 2 0 0 1
n
A A A A A
 
     
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =          
 
.
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție ( )4x y xy x y a∗ = − + + , unde a
este număr real.
5p a) Pentru 10a = , arătați că 1 2 0∗ = .
5p b) Pentru 20a = , arătați că 5e = este elementul neutru al legii de compoziție „ ∗ ”.
5p c) Demonstrați că, dacă [ )20,a ∈ +∞ , atunci mulțimea [ )4,H = +∞ este parte stabilă a mulțimii
numerelor reale în raport cu legea de compoziție „ ∗ ”.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 0,f → +∞ℝ , ( ) 6 3 2x x x
f x = − + .
5p a) Arătaţi că ( )0 ln 4f ′ = .
5p b) Se consideră tangenta la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 0x = , situat pe graficul funcției
f . Determinați numărul real a pentru care punctul ( )( ),ln 16A a e este situat pe această tangentă.
5p c) Calculați ( )( )
0
ln
lim
x
f x
x→
.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 2
2 2
1 3 3
x
f x x x
= − −
+ + .
5p a) Arătaţi că ( ) ( )
2 2
1
1
3 3
x f x dx+ =∫ .
5p b) Arătaţi că ( )
1
0
4 3
1 ln 3 9
f x dx
π
= − −∫ .
5p c) Pentru fiecare număr natural nenul n , se consideră numărul ( )
1
0
n
nI f x dx= ∫ . Arătați că lim 0n
n I
→+∞ = .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 3
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) ( )22 2
4 5 2 4 2 5 4 4 8 4 5z z i i i i i− + = + − + + = + + − − + = 3p
2 1 1 1 0i= + = − + = 2p
2. ( ) ( )0, 2 0 2fM G f∈ ⇔ = 3p
2a = 2p
3. 3 3 2 2 0x x x x= + ⇔ = 3p
0x = 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de cinci cifre distincte, formate cu cifre din mulțimea
{ }1, 2,3, 4,5 are 5! 120= de elemente, deci sunt 120 de cazuri posibile 2p
Numerele naturale de cinci cifre distincte, formate cu cifre din mulțimea { }1, 2,3, 4,5 , care au
cifra zecilor egală cu 2 și cifra unităților egală cu 3 , sunt 6 , deci sunt 6 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 6 1
nr. cazuri posibile 120 20
p = = = 1p
5. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
4 0 1 4 2 3CA CB a a= ⇔ − + − = − + − 3p
2 2
16 2 1 4 6 9 1a a a a a+ − + = + − + ⇔ = − 2p
6. A B C
π+ + = , 2B A C= + 3p
3 3
B B
π
π= ⇒ = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
1 0 1 1 0 1
1 0 1 0 det 1 0 1 0
0 0 1 0 0 1
A A
 
 
= ⇒ = = 
 
 
3p
1 0 0 0 0 0 1= + + − − − = 2p
b)
( ) ( )
( )1 0 2 ln
0 0
0 0 1
xy
A x A y xy
 + 
 
= = 
 
 
2p
( )
( ) ( )
1 0 2 ln
0 0
0 0 1
yx
yx A y A x
 + 
 
= = 
 
 
, pentru orice ( ), 0,x y ∈ +∞ 3p
c)
( )
1 0 2
1 3 0 1 0
3 0 0 1
A A
 
   
=      
 
, ( )
1 0 2
1 2 0 1 0
2 0 0 1
A A
 
   
=      
 
2p
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 0 5
1 1 1 1
1 2 3 3 2 1 0 1 0 5
3 2 3 2 0 0 1
A A A A A A A A A A n
 
         
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ =                  
 
3p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 3
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2.a) ( )1 2 1 2 4 1 2 10∗ = ⋅ − + + = 3p
2 12 10 0= − + = 2p
b) ( )5 5 4 5 20 5 4 20 20x x x x x x∗ = ⋅ − + + = − − + = , pentru orice număr real x 2p
( )5 5 4 5 20 5 20 4 20x x x x x x∗ = − + + = − − + = , pentru orice număr real x , deci 5e = este
elementul neutru al legii de compoziție „ ∗ ” 3p
c) ( )( )4 4 16x y x y a∗ = − − + − , pentru orice numere reale x și y 2p
, 4 0x y H x∈ ⇒ − ≥ și 4 0y − ≥ și, cum 20a ≥ , obținem 4x y x y H∗ ≥ ⇒ ∗ ∈ , deci H
este parte stabilă a mulțimii numerelor reale în raport cu legea de compoziție „ ∗ ” 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 6 ln 6 3 ln 3 2 ln 2x x x
f x′ = − + , x ∈ ℝ 3p
( )0 ln 6 ln 3 ln 2 ln 4f ′ = − + = 2p
b) Ecuația tangentei este ( ) ( )( )0 ' 0 0y f f x− = − și, cum ( )0 1f = , obținem ln 4 1y x= + 3p
( ) ( )ln 16 ln 4 1 1 ln16 ln 4 1a
e a= + ⇒ + = + , deci 2a = 2p
c) ( )( ) ( )
( )
( )
( )0 0
' 'ln 0
lim lim 0x x
f x f x f
x f x f→ →
= = = 3p
ln 4 ln 4
1
= = 2p
2.a)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )32 2 2
2 2 2
1 1 1
21
3 3 2 2 2 1 3 1
x
x f x dx x x dx x x dx −
+ = + − − = − + = =∫ ∫ ∫ 3p
1 1
0
3 3
= − = 2p
b)
( ) ( )
1 1 2
2 2
0 0
12 2 2
1 ln 3 arctg
3 33 3 0
x x
f x dx dx x x
x x
  
= − − = − + − =  
+ +   
∫ ∫ 3p
2 4 3
1 ln 4 ln 3 1 ln
6 3 93
π
π
= − − ⋅ + = − − 2p
c) Pentru orice [ ]0,1x ∈ , ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22
2 1 3 1' 0 1 0 0 33
x x
f x f f x f f x
x
− +
= ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
+ 2p
1
0
1
0 3
n
nI dx
 
≤ ≤  
 
∫ , deci 1
0 3
n
nI  
≤ ≤  
  și, cum 1
lim 0
3
n
n→+∞
  = 
  , obținem că lim 0n
n I
→+∞ = 3p